Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab

Introducción

Para el análisis transitorio de algunos ejemplos tomamos en cuenta el cuadro presentado con anterioridad en ensayo teórico Respuesta Transitoria de un Sistema de Control, junto con la forma estándar de la Función de Transferencia:

En la siguiente figura vemos la relación entre σ  (coeficiente de amortiguamiento) y el tipo de respuesta obtenida: mientras menor sea el valor de σ , más oscilatoria es la respuesta. La frecuencia natural ωd  es un factor de escala de tiempo y no afecta la naturaleza de la respuesta más allá de afectar su escalamiento en el tiempo.

1. Matlab y la función tf() y step(). La Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador se muestra en la Figura 2.15.

Considerando M=1 Kg, Fv= 4 N*seg/m, y K= 3 N/m. Introduciendo la expresión de la función de transferencia en la consola de Matlab, utilizando tf() y step(), obtenemos la respuesta del sistema a a la entrada escalón unitario

> X=tf([1],[1 4 3])

>step(X)

X = 1/ s^2 + 4 s + 3

Gráfica 1

Mediante la función residue (X) podemos ver que los polos de esta función están en -3 y -1:

> [r,p,k]=residue ([1],[1 4 3])

r = -0.5000, 0.5000 // polos = -3, -1 // k =0. Los polos son reales negativos diferentes, lo que sugiere un factor de amortiguamiento por ello estamos en presencia de un sistema sobreamortiguado como lo sugiere la gráfica 1

>ilaplace(1/(s^3 + 4*s^2 + 3*s),s,t)

ans = exp(-3*t)/6 – exp(-t)/2 + ⅓ (respuesta a la aplicación de una fuerza repentina semejante a la función escalón unitario)

2. Utilizando tf() introducimos la función de transferencia del sistema descrito en forma estándar 25/(s^2 + 4s +25). Realice el gráfico de x(t) ante impulso y rampa para el intervalo 0<t<3 utilizando lsim() y impulse()

> p=tf([25],[1 4 25])

> t=0:0.1:3

> x=t

>lsim(p,x,t)

obtenemos la respuesta a la entrada rampa

> impulse(p)

obtenemos la respuesta al impulso del sistema

Utilizando step() obtenemos la respuesta al escalón unitario y utilizando stepinfo() obtenemos el valor de los parámetros más relevantes de esta respuesta:

> s=tf([25],[1 4 25])

> step(s)

> stepinfo(s)

3. Matlab y la función residue() y ilaplace(). Considerando el sistema

Gráfica 2. Respuesta a la entrada escalón unitario

>[r,p,k]=residue ([2 25],[1 4 25])

r = 1.0000 – 2.2913i; 1.0000 + 2.2913i

polos = -2.0000 + 4.5826i; -2.0000 – 4.5826i; k = []. Dos polos imaginarios conjugados, lo que sugiere un sistema subamortiguado, como se confirma en la gráfica, para

Vemos claramente que ωn *ζ= 2 y ωd = 4.5826.

>ilaplace((2*s + 25)/(s^3 + 4*s^2 + 25*s),s,t)

ans =1 – exp(-2*t)*cos(21^(1/2)*t) parecida a la forma

Vemos que a diferencia del ejemplo 1, en este caso la salida en el tiempo incluye un componente coseno que la hace oscilar como se muestra en la Gráfica 2.

Utilizando la función damp(), podremos encontrar los valores del coeficiente de amortiguamiento ζ , la constante de tiempo τ y el de la frecuencia natural ωn:

> damp(s2) 

               Pole                  Damping     Frequency (r/s)      Time Constant  (s)

-2.00e+00 + 4.58e+00i       4.00e-01      5.00e+00              5.00e-01

-2.00e+00 – 4.58e+00i        4.00e-01       5.00e+00             5.00e-01

 ζ=0.4 // ωn=5.00 r/s  //  τ=0.5 s

4. Matlab y la forma estándar: Supongamos que las especificaciones que deben cumplirse están expresadas como los valores del coeficiente de amortiguamiento y de la frecuencia natural. Podemos generar la función de transferencia de este sistema utilizando las funciones ord2() y printsys(NUM,DEN,’s’), y luego graficar esta respuesta recordando que ambos parámetros se relacionan con la entrada escalón unitario:

[NUM,DEN] = ord2(Wn,Z) returns the polynomial transfer function of the second order system.

> wn=5

> damping_ratio=0.4

>[Num0,den]=ord2(wn,damping_ratio)

Num0 =1;

den = 1 4 25.

printsys(NUM,DEN,’s’) prints the transfer function as a ratio of two polynomials in the transform variable ‘s’

> Num=5^2*Num0

> printsys(Num,den,’s’)

num/den = 25/ s^2 + 4 s + 25

>p=tf([25],[1 4 25])

>step(p)

 

5. Ahora analizamos la aplicación de la función lsim(): lsim – Simulate time response of dynamic system to arbitrary inputs-This MATLAB function produces a plot of the time response of the dynamic system model sys to the input history, t,u.

Consideramos el sistema simple 25/(s^2 + 4s +25) en su forma estándar, y la respuesta al escalón unitario. Aplicamos las funciones siguientes:

> p=tf([25],[1 4 25])

>[u,t]=gensig(‘pulse’,0.1,3,0.1)

> lsim(p,u,t)

obtenemos

6. Vamos a derivar la Función de Transferencia a partir de un diagrama de bloques y la función feedback(). Consideramos el sistema:

donde:

Determine la expresión de la función de transferencia Gfinal=C(s)/R(s) en Matlab utilizando el comando feedback()

>s=tf(‘s’)

> G3=1/s

> H3=10/(s+5)

>G3H3cloop=feedback(G3,H3)

G3H3cloop = s + 5/ s^2 + 5 s + 10

G2=20/(s+2)

> H2=10/(s+20)

G2H2cloop=feedback(G2,H2) // G2H2cloop = 20 s + 400/ s^2 + 22 s + 240 //

> G1plusG2H2cloop= G2H2cloop + G1

G1plusG2H2cloop = 5 s^2 + 130 s + 1600/ s^2 + 22 s + 240

> GRH1cloop=feedback(GR,H1)

GRH1cloop = 5 s^2 + 130 s + 1600/ 51 s^2 + 1322 s + 16240

> Gfinal= GRH1cloop + (GRH1cloop/G2) + G3H3cloop

Gfinal =

255 s^7 + 20125 s^6 + 774760 s^5 + 1.786e07 s^4 + 2.647e08 s^3 + 2.482e09 s^2 + 1.362e10 s + 3.209e10

—————————————————————————————————–

52020 s^6 + 2.957e06 s^5 + 8.209e07 s^4 + 1.226e09 s^3 + 1.025e10 s^2 + 3.496e10 s + 5.275e10

7. Vamos a analizar la estabilidad del siguiente sistema:

> T=tf([128],[1 3 10 24 48 96 128 192 128])

> G=feedback(T,1)

G =

                                   128

 ———————————————————————–

 s^8 + 3 s^7 + 10 s^6 + 24 s^5 + 48 s^4 + 96 s^3 + 128 s^2 + 192 s + 256

> poles=pole(G)

poles=

  1.0154 + 1.5963i

  1.0154 – 1.5963i

  0.2646 + 2.0468i

  0.2646 – 2.0468i

 -0.9684 + 1.9698i

 -0.9684 – 1.9698i

 -1.8116 + 0.4508i

 -1.8116 – 0.4508i

Vemos claramente que el sistema tiene dos polos en el semiplano derecho, dos polos en el eje imaginario y cuatro en el semiplano izquierdo, por tanto es inestable. La respuesta al escalón unitario mediante step() así lo sugiere:

 

8. Obtenga las respuestas impulso, escalón y rampa para 0<t<10 s simulando los sistemas siguientes en Simulink, utilice un Scope para comparar las respuestas escalón y las respuestas ante una entrada rampa.

> sys=tf([5 100],[1 8 32 80 100])

stepinfo(sys):  

RiseTime: 0.7217 , SettlingTime: 3.1056, Overshoot: 13.8472,

PeakTime (Pt): 1.6579, Peak (P): 1.1385 (se señala Pt y P en la gráfica para la curva color amarillo mediante herramientas de medición de Scope)

sys2=tf([245],[1 10])

>> sys3=tf([1],[1 4 24])

> stepinfo(sys2*sys3)

 RiseTime: 0.3443,  SettlingTime: 1.8124, Overshoot: 21.3046, PeakTime: 0.8197,

Peak: 1.2383 (se señala Pt y P en la gráfica para la curva color azul)

9. Ejercicio 77, p295, Nise. The mechanical system shown in Figure P5.52(a) is used as part of the unity feedback system shown in Figure P5.52(b). Find the values of M and D to yield 20% overshoot and 2 seconds settling time.

 

Respuesta:

 

 

Respuesta completa en el siguiente link: Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico

Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Elaborado por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – WhatsApp: +34 633129287 – Atención Inmediata !

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