Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Introducción.

La respuesta en el tiempo de un sistema de control se divide normalmente en dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable.

Antes de estudiar la respuesta transitoria de un sistema de control, es de utilidad repasar:

Función de transferencia a lazo abierto y a lazo cerrado

Para el estudio de la respuesta transitoria de un sistema de control, lo más conveniente es contar con la representación prototipo. Es decir, si tenemos el modelo matemático de un sistema, debemos representar dicho sistema mediante un diagrama de bloques donde esté claramente expresada la función de transferencia directa G_(s) y una realimentación negativa unitaria como se ilustra en la Figura 1:

Ya sabemos que la función de transferencia a lazo cerrado C_(s)/R_(s)  del sistema de control de la Figura 1 se determina mediante la siguiente fórmula:

Denominamos a C_(s)/R_(s) “modelo prototipo” (o configuración prototipo), cuando tiene la siguiente forma:

 

Dónde:

Entonces, debemos representar el sistema de interés (el que estamos estudiando) con una función de transferencia similar a la forma de la ecuación (1) y de allí obtener los valores para la frecuencia natural ω_n y el factor de amortiguamiento relativo ζ. Con estos dos valores podremos calcular lo que realmente interesa en el análisis de la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:

1. Sobrepaso máximo (M_p)
2. Tiempo de asentamiento (T_s)
3. Tiempo de levantamiento (T_r)

La fórmula para cada uno de estos parámetros se presentan más adelante. Pero antes, es necesario ofrecer una definición más formal sobre respuesta transitoria.

Definición de respuesta transitoria

Sea y(t) la respuesta de un sistema en tiempo continuo, entonces:

donde y_t(t) es la respuesta transitoria, mientras y_ss(t) es la respuesta en estado estable.

La respuesta transitoria de un sistema de control es importante ya que tanto su amplitud como su duración deben mantenerse dentro de límites tolerables o prescritos. Está definida como la parte de la respuesta en el tiempo que tiende a cero cuando el tiempo se hace muy grande. Por lo tanto,

Todos los sistemas de control estables reales presentan un fenómeno transitorio antes de alcanzar la respuesta en estado estable. Para propósitos de análisis y diseño es necesario suponer algunos tipos básicos de entradas de prueba para evaluar el desempeño de un sistema. La selección adecuada de estas señales de prueba permite la predicción del desempeño del sistema con otras entradas más complejas. Se utilizan las siguientes señales: Función Escalón, que representa un cambio instantáneo en la entrada de referencia; Función Rampa, que representa un cambio lineal en el tiempo; Función Parabólica, que representa un orden más rápido que la rampa. Estas señales tienen la característica común de que son simples de escribir en forma matemática, rara vez es necesario o factible emplear funciones más rápidas. En la Figura 7-1 se pueden observar dichas funciones:

Es muy común que se utilice principalmente el escalón unitario para describir la respuesta transitoria de un sistema de control. Para observar en la práctica cómo se utilizan estas señales recomiendo visitar:

• Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab
• Respuesta transitoria de un sistema de control de posición.

Cálculo de la Respuesta Transitoria. 

El criterio de desempeño comúnmente utilizado para representar las características de un sistema de control lineal en el dominio del tiempo, está  constituido por la evaluación de los siguientes conceptos, cuando la función de prueba en la entrada del sistema es el escalón unitario:

1. Sobrepaso máximo (M_p): es el valor pico máximo de la curva de respuesta medida a partir de la unidad. Según otra bibliografía, es también la cantidad en que la forma de la curva de salida sobrepasa el valor final de la salida, expresada en porcentaje.
2. Tiempo de retardo (T_d): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance la mitad del valor final por primera vez.
3. Tiempo de asentamiento (T_s): es el tiempo requerido para que las oscilaciones amortiguadas transitorias alcancen y permanezcan dentro del ±2% o del  ±5% del valor final o valor en estado estable.
4. Tiempo de levantamiento (T_r): es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema pase del 10% al 90% del valor final. En otras palabras, para que vaya de 0.1 del valor final al 0.9 del valor final.
5. Tiempo pico (T_p ó Tmáx):es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema alcance el pico del levantamiento máximo.

Una respuesta típica de un sistema de control a una entrada escalón unitario se muestra en la Figura 7-11:

Estas cinco cantidades ofrecen una visión exhaustiva de las características transitorias de un sistema de control en términos de la respuesta al paso unitario.

Para evaluar estos conceptos, lo más práctico es representar el sistema en términos del modelo prototipo, el cual se ilustra mediante un diagrama de bloques en la Figura  5-6:

Para armar o modificar el diagrama de bloques de un sistema, recomiendo ver: Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

La representación prototipo muestra claramente dos funciones fundamentales para los cálculos:  la Función de Transferencia Directa G_(s) y la Función de Transferencia a Lazo Cerrado C_(s)/R_(s)=G_ce(s), que en la Figura 5-6 son:

Estas funciones definen dos parámetros de uso muy extendido cuando se dan  especificaciones de diseño de un sistema de control:

El modelo prototipo es un sistema de segundo orden. Para ver un ejemplo de aplicación de esta teoría ver Respuesta transitoria de un sistema de control Prototipo

Si bien son raros los sistemas de control de segundo orden, su análisis ayuda a formar una base para el diseño y análisis de sistemas de orden más alto cuya representación puede aproximarse mediante sistemas de segundo orden. Un excelente ejemplo de aplicación, muy frecuente además, es un sistema de control de posición, cuya respuesta transitoria se desarrolla completamente en el siguiente link: Servomotores – Respuesta transitoria de un sistema de control de posición.

Disponiendo del diagrama de bloques con realimentación unitaria, la función de transferencia a lazo cerrado Gce(s) nos permite calcular el valor de los parámetros ω_n y ζ. Con estos términos, podremos evaluar el desempeño del sistema en su respuesta transitoria a la entrada escalón unitario, mediante las siguientes fórmulas , aplicables sobre todo al sistema subamortiguado (0<ζ<1):

• Sobrepaso máximo (M_p), o por sus siglas en Inglés %OS (Over-Shooting):

también podemos utilizar:

donde y(t_(p)) es el valor de la salida en el tiempo de máximo sobrepaso, mientras y(∞) es el valor de la salida en estado estable, cuando desaparece la respuesta transitoria.

Es muy útil contar además con la expresión para el factor de amortiguamiento relativo ζ en función del sobrepaso M_p:

• Tiempo de asentamiento (T_s)

• Tiempo de levantamiento (T_r)

El tiempo de levantamiento no se puede expresar en función del factor de amortiguamiento relativo ζ. Ya que T_r es el tiempo requerido para que la respuesta del sistema pase del 10% al 90% del valor final, la manera más práctica de hallar el valor de T_r es utilizando la gráfica para la salida C_(t) del sistema a una entrada escalón, generada por la computadora (step() en Matlab), y restar, para un valor determinado del factor de amortiguamiento relativo ζ, los tiempos para los cuáles C_(t)=0.9 y C_(t)=0.1 (se da un ejemplo más adelante).

También se puede utilizar la siguiente relación para la cual es necesario contar con los componentes real e imaginario de la raíz que se corresponde con los valores dados de ω_n y ζ (Figura 5-9):

donde ω_d es la frecuencia natural amortiguada:

y ß está definida por la Figura 5-9:

• Tiempo pico (T_p)

• Tiempo de retardo (T_d)

La respuesta transitoria de un sistema de control en la práctica siempre exhibe oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Esto ocurre porque los sistemas tienen componentes que almacenan energía y no pueden responder de manera inmediata a los cambios en la entrada. La respuesta transitoria a una entrada escalón depende de las condiciones iniciales. Es por ello que en la práctica se acostumbra considerar que el sistema está inicialmente en reposo de modo tal que las condiciones iniciales (la salida y sus derivadas) son iguales a cero.

Recomiendo leer: Sistemas de primer orden; Sistemas de segundo orden

Para ver como se transforma un sistema de primer orden en uno de segundo orden a través de un sistema de control con controlador PID, acceder al siguiente laboratorio:

Aplicar control PID a Función de Transferencia - 1er grado ó 2do grado - Catálogo 14

Este catálogo ofrece la solución analítica completa a prácticas de configuración y diseño de sistemas de control para Función de Transferencia de primer orden o de segundo orden, generalmente aplicando un controlador PID, álgebra de bloques, y la teoría que forma parte de la cátedra de sistemas de control, señales y sistemas, ingeniería industrial, mecatrónica, etc. Además, la solución implica el uso de Matlab y/o Simulink. Cada laboratorio tiene un costo de 14.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal. También el autor ofrece servicio para resolver prácticas y laboratorios a particulares: +34633129287.

Práctica 1

Para la función de transferencia:

• Graficar la respuesta para una entrada de 250 sin control en lazo abierto y sin control en lazo cerrado;
• Graficar la salida aplicando control PID con las siguientes constantes de K_p=60; K_i=400; K_d=10 y con una entrada escalón unitario. Ejecutar ambas: Solución analítica y Solución haciendo uso de la herramienta sisotool de Matlab para configurar el controlador.
• Simular en Simulink

Práctica 2…en construcción

Para la función de transferencia:

Sistema en lazo abierto 

Aún en los casos donde no haya una realimentación de control, podemos utilizar los parámetros ω_n y ζ para calcular las especificaciones de diseño. En estos casos, la función de transferencia de nuestro sistema es simplemente G_(s), la cual podemos representar de la siguiente forma:

Donde C es una constante. Pongamos el caso bien conocido de un sistema masa-resorte-amortiguador básico.

Acá, la función de transferencia del sistema es:

El sistema equivalente queda expresado como:Dónde:Por tanto:Por lo que:

Siendo:

Para ver el resto del problema ver: Ejemplo 1 – Respuesta Transitoria de sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo sistema a lazo cerrado

Considere el sistema de la Figura 5-84:

Determinar los valores de K y k tal que el sistema tenga un factor de amortiguamiento relativo ζ de 0.7 y una frecuencia natural ω_n de 4 rad/s.

Respuesta completa en el siguiente link: Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema de control

Especificaciones para la respuesta transitoria de un sistema de segundo orden.

La Figura 5-5a muestra un sistema “Servo” como ejemplo de un sistema de segundo orden (ver Servomotores – Sistema de control de posición). Consiste de un controlador proporcional y elementos de carga (inercia y fricción viscosa).

La Función de Transferencia del sistema de lazo cerrado mostrado en la Figura 5-5c es:

Para el análisis de la respuesta transitoria es conveniente escribir:

Donde  σ es denominado atenuación; ωn es la frecuencia natural sin amortiguamiento del sistema; y ζ el factor de amortiguamiento relativo del sistema. ζ es la razón entre el factor actual de amortiguamiento B y el factor de amortiguamiento crítico Bc que es igual a dos veces la raíz cuadrada de JK:

En términos de ωn y ζ, el sistema mostrado en la Figura 5-5c puede ser expresado como en la Figura 5-6, denominado “Sistema Prototipo”:

Ahora, la Función de Transferencia C(s)/R(s) puede ser escrita como:

Esta última es denominada Forma Estándar. La dinámica del comportamiento de un sistema de segundo orden puede ahora ser descrita en términos de los dos parámetros ω_n y ζ. Brevemente, los diferentes tipos de respuestas de un sistema de segundo orden a una entrada escalón en función de ζ pueden ser resumidas mediante la Figura 4-11:

Para más ejemplos acceder al siguiente catálogo:

En esta guía PDF  se analiza la respuesta transitoria de sistemas que forman parte de la cátedra de sistemas de control, señales y sistemas, análisis de redes eléctricas, etc. Cada solución además ofrece un código de Matlab para graficar las señales y/o la simulación de la respuesta. Cada problema tiene un costo de 12.5 euros. La Guía completa tiene un valor de 21.5 euros. Se facilita pago a través de Paypal.

A continuación, los enunciados de problemas resueltos en esta guía.

Problema 1.

Para el sistema de la Figura siguiente:

1.a Calcula y justifica el valor de la ganancia estática y la constante de tiempo cuando G_(s) y H_(s):

Simular en Matlab.

1.b Analiza el comportamiento (subamortiguado, sobreamortiguado, críticamente amortiguado, inestable, oscilación mantenida) de la salida para los diferentes valores del parámetro a ante la entrada escalón unitario cuando:

El parámetro a toma valores reales. Simular en Matlab.

1.c Calcula frecuencia natural no amortiguada, frecuencia natural amortiguada, factor de amortiguamiento, tiempo de crecimiento, tiempo pico, sobre impulso máximo para el caso b. Simular en Matlab

Problema 2. 

Sea el sistema adjunto:

Se pide:

2.a Obtener la función de transferencia del sistema, considerando la tensión e_i como la señal de entrada al sistema y la tensión e_o como la señal de salida del sistema.

2.b Calcular, a partir del modelo obtenido, el valor de estabilización del sistema ante entrada escalón unitario. ¿Depende de los valores de las resistencias y del condensador?

2.c Obtener el valor del tiempo en el que la salida del sistema alcanza el 95% de su valor final, suponiendo que los valores de R y C son iguales a 1. Simular en Matlab.

Problema 3. 

Para el sistema adjunto:

Se pide:

3.a Obtener la función de transferencia del sistema, considerando la tensión v_i como la señal de entrada al sistema y la tensión v_o como la señal de salida del sistema.

3.b Calcular, a partir del modelo obtenido, el valor de estabilización del sistema ante entrada escalón unitario. ¿Depende del valor de la resistencia R?

3.c Analiza el sistema respecto al parámetro R. Simular en Matlab.

Problema 4 

Se tiene un sistema cuya función de transferencia es:

K_a es una ganancia que se ajusta para obtener una respuesta deseada. Determinar el valor de K_a para obtener la respuesta que se observa en la gráfica 3. Esta salida corresponde a la respuesta al escalón unitario. Simular en Matlab.

Otras observaciones

Considere la Figura 5-8:

Es importante resaltar que estas especificaciones no necesariamente aplican a todos los casos de respuestas de sistemas de segundo orden. Por ejemplo, los términos tiempo pico y levantamiento máximo no aplican para sistemas sobreamortiguados.

Excepto en aquellos casos donde las oscilaciones no son toleradas, es deseable que la respuesta transitoria de un sistema de control dado sea lo suficientemente rápida y lo suficientemente amortiguada. Esto se logra mediante un factor de amortiguamiento entre 0.4 y 0.8. Pequeños valores de ζ (ζ<0.4) producen excesivo levantamiento máximo en la respuesta transitoria, mientras que un sistema con alto ζ (ζ>0.8) responde de manera muy lenta. Veremos además que el levantamiento máximo y el tiempo de levantamiento entran en conflicto. Es decir, no es posible disminuir el tiempo de levantamiento y el levantamiento máximo al mismo tiempo.

Ejemplos

Tiempo de levantamiento (Tr):

Sea la siguiente función de transferencia a lazo cerrado de un sistema determinado:

Calcular el Tr para Kp=1 y Kd=0.00108.

>> s=tf(‘s’)

>>sys=(834526.56*(1+0.00108*s))/(s^2+(361.2+834526.56*0.00108)*s+834526.56)

sys =     (901.3 s + 8.345e05) / (s^2 + 1262 s + 8.345e05)

> step(sys)

Utilizando la gráfica para la salida C(t) del sistema a una entrada escalón para un valor determinado del factor de amortiguamiento relativo (ζ=0.69). Para hallar Tr, restamos los tiempos para los cuáles C(t)=0.9 y C(t)=0.1:

La gráfica anterior nos permite determinar el valor de Tr para un valor de ζ=0.69 de la siguiente manera:

Respuesta transitoria de sistemas de mayor orden.

Se podrá comprobar que la respuesta transitoria de sistemas de orden superior al segundo orden es la suma de las respuestas del sistema de primer orden y segundo orden.

Respuesta transitoria de un sistema de primer orden.

Brevemente repasamos la respuesta transitoria de un sistema de primer orden. La Figura 4.4(a) muestra la función de transferencia de un sistema de primer orden sin zeros.

Si la entrada es una función escalón unitario, es decir, R(s)=1, la transformada de Laplace de C(s) es igual a:

Mediante la transformada inversa obtenemos que:

La Figura 4-5 muestra la respuesta típica de un sistema de primer orden a una entrada escalón:

Llamamos a 1/a la constante de tiempo de la respuesta. El parámetro a es el único necesario para describir la respuesta transitoria de un sistema de primer orden. En consecuencia, la constante de tiempo es considerada la especificación por excelencia para la respuesta transitoria de un sistema de primer orden en respuesta a una entrada escalón. Ya que el polo de la función de transferencia está en a, podemos decir que el polo es el recíproco de la constante de tiempo. Por tanto, mientras más lejos esté el polo del eje de la imaginarias en el plano complejo, más pequeña será la constante de tiempo y por ende el sistema será más rápido.

Otras especificaciones para los sistemas de primer orden son:

Tiempo de levantamiento (Tr):

Tiempo de asentamiento (Ts):

Para ver un ejemplo de aplicación de la teoría presentada hasta ahora, ver el siguiente link:

• Efecto de añadir un Zero – Diseño de Sistema de control (English version)
• Controlador PD – Proporcional Diferencial – Sistemas de Control (English version)
• Diseño de un Controlador PD utilizando SISOTOOL de Matlab
• Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico
• Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab
• Respuesta transitoria de un sistema de control Prototipo
• Análisis de respuesta transitoria – Problemas resueltos – Catálogo 9
•  

SIGUIENTE:

• Salida de un sistema de control en Estado Estable
• Estabilidad de un sistema de control.

Fuentes:

1. Control Systems Engineering, Nise
2. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
3. Análisis en estado permanente de un circuito RLC
4. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t

Revisión literaria hecha por:

Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer

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Relacionado:

Ejemplo 1 – Respuesta Transitoria de sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 1 – Respuesta transitoria de un sistema electromecánico

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Servomotores – Sistema de control de posición

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques de Sistema Electromecánico con Motor DC