Análisis de sistemas de control, Diagramas de bloques, Ingeniería Eléctrica, Máquinas Eléctricas

Dinámica de un Sistema Electromecánico con Motor DC.

Introducción

El Servomotor DC controlado por armadura es quizás el más utilizado de los componentes que conforman un sistema electromecánico en robótica. Sin embargo, dependiendo de la aplicación, encontraremos también los dos motores AC trifásicos más comunes: motores de inducción y motores sincrónicos. En esta oportunidad sólo abordaremos el caso de Motores DC.

Para obtener la Dinámica de un sistema electromecánico complejo como el que se muestra en la Figura 1:

Figura 1. Sistema electromecánico con motor DC. Sistema de control de posición para una antena Azimuth

primero debemos deducir la Dinámica del Motor DC, cuyo esquema general se presenta en la Figura 2:

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Figura 2. Esquema general para un motor DC controlado por armadura.
Deducción de ecuaciones del Motor DC a partir de principios físicos

Obtener las ecuaciones que gobiernan la dinámica de un motor implica el conocimiento de los conceptos básicos del movimiento rotatorio, así como los fundamentos de campo magnético y las leyes de Newton. Para dar un repaso, ver: Movimiento Rotatorio – Conceptos básicos.Concepto de Campo Magnético.

Un Motor DC puede estar controlado por campo o por armadura. El caso más frecuente es el control por corriente (o voltaje) de armadura. Haciendo referencia a la Figura 2, un imán estacionario permanente o un electroimán genera un flujo magnético Φ, constante, denominado Fixed Field. Este flujo Φ es generado a su vez por una corriente de campo if que se supone constante (de allí deriva el nombre de Motor DC o motor de corriente continua).

El motor es controlado por un voltaje ea(t) aplicado a los terminales de la armadura. Aplicando el método de análisis de circuitos eléctricos de Kirchhoff al circuito de la Figura 2.a , deducimos la primera ecuación importante del sistema:

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Donde La Ra representan la inductancia y la resistencia de la armadura respectivamente.

La armadura es un circuito rotativo a través del cual circula una corriente ia(t). Cuando la armadura pasa en ángulos rectos a través del flujo magnético Φ, siente una fuerza F=BLia(t) donde B es la intensidad del campo magnético y L es la longitud de la bobina o conductor. El torque Tm(t) que resulta de esta interacción hace girar el rotor, el cual es el miembro rotatorio del motor. Para un análisis lineal es necesario suponer que este torque o par es proporcional al flujo magnético Φ y a la corriente ia(t) . De esta suposición obtenemos la siguiente ecuación del sistema:

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Donde Km es constante. Como hemos dicho que Φ también es constante, el factor Km de la ecuación anterior se reduce a una constante denominada KiDe esta manera, dicha ecuación se reduce a:

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Donde Ki es La Constante de Proporcionalidad, también llamada constante de torque del motor (o constante de par) y es uno de los parámetros dados por los fabricantes de motores. Ki, con frecuencia denominada también Kt , viene en N-m/A.

Nota: cuando el motor es controlado por una corriente en el campo, con el fin de obtener un sistema lineal la corriente de armadura debe ser considerada constante y así el torque del motor viene dado por Tm= Kmif, donde if es la corriente de campo.

Otro importante fenómeno ocurre en el motor: Cuando el conductor (o bobina) de la armadura se mueve en ángulos rectos a través del campo magnético Φ,se genera un voltaje vb(t) en las terminales del conductor. Ya que la armadura rota en un campo magnético, el voltaje generado en su bobina es proporcional a la velocidad ωm(t) de rotación de la armadura. De esta manera obtenemos otra ecuación de gran importancia:

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Dónde:

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Denominamos a vb(t) la Fuerza Contraelectromotriz (o back emf por sus siglas en inglés); Kes la constante de proporcionalidad llamada también constante emf. 

Aunque el Motor DC es por sí mismo un sistema en lazo abierto, veremos más adelante que la fuerza contraelectromotriz vb(t) provoca un lazo realimentado dentro del motor, actuando como una “fricción eléctrica” que tiende a mejorar la estabilidad del motor.

Por último, aplicando las leyes de Newton para movimientos mecánicos rotacionales obtenemos:

Donde Jes el momento inercial ( o inercia simplemente) del rotor, y bes el coeficiente de fricción viscosa del motor.

Es importante recalcar que estamos definiendo las ecuaciones del motor “a lazo abierto”, es decir, sin realimentación, como en la Figura 1. Por tanto, hemos logrado definir el conjunto de ecuaciones que determina la Dinámica del Motor DC operando en lazo abierto:

dónde:

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Obtención del diagrama de bloques del sistema

Para representar la dinámica del Motor DC en diagrama de bloques, el siguiente paso consiste en aplicar la Transformada de Laplace al sistema de ecuaciones obtenidas anteriormente.

Luego de aplicar Laplace, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

Para elaborar el diagrama de bloques del motor DC a lazo abierto a partir de este sistema de ecuaciones, empezamos dibujando el diagrama de bloques para la salida θm(s), luego mediante un integrador obtenemos Ωm(s), que es la notación para velocidad angular luego de aplicar la transformada de Laplace:

Paso siguiente, despejamos Ωm(s)  de la ecuación (1) y agregamos este resultado de manera conveniente al diagrama de bloques:

Ahora, podemos obtener Tm(s) directamente de la ecuación (4), y seguimos agregando bloques al diagrama de bloques del sistema:

Por último, utilizamos las ecuaciones (2) y (3) para despejar y obtener la expresión para Ia(s):

De esta manera, tomando a Ea(s) como la entrada y a θm(s) como la salida,  se representa el sistema a continuación mediante El Diagrama de Bloques para un Motor DC operando a lazo abierto:

Aquí podemos corroborar lo que señalamos antes, que la fuerza contraelectromotriz, proporcional a KbΩm(s), genera un lazo realimentado negativo que tiende a estabilizar el sistema.

La función de transferencia Gm(s) para un Motor DC a lazo abierto, es:

La función de transferencia fue deducida en el siguiente link: Dinámica de un Motor DC

La configuración del sistema electromecánico más comúnmente utilizado se muestra en la  Figura 2.15, operando a una velocidad constante y sin lazo de realimentación. La mayoría de estos sistemas se representan utilizando sólo las funciones de transferencia de cada equipo en un diagrama de bloques lo más resumido posible. Por tanto, generalmente es mucho más útil representar el motor y su carga mediante un único bloque, cosa que haremos más adelante.

La operación del motor DC en lazo abierto es aceptable para muchas aplicaciones donde una posición fija con cierto margen de error (un ascensor) o una velocidad fija (una motosierra) es suficiente. Sin embargo, en aplicaciones donde la velocidad es variable (una banda transportadora) o la posición debe ser controlada de manera muy precisa (un telescopio), será necesario seleccionar un control a lazo cerrado con realimentación negativa. A continuación analizamos el caso frecuente donde el Motor DC funciona como parte de un sistema a lazo cerrado denominado Sistema de Control de Posición.

Sistema electromecánico con Motor DC a lazo cerrado 

A continuación, vamos a deducir la Función de Transferencia θL(s)/ θr(s) para el Servosistema de la Figura 3, a partir de análisis detallado de cada uno de los componentes de dicho sistema electromecánico.

Figura 3. Sistema de Control de posición. 
Dinámica del sistema - Amplificador diferencial

El objetivo de un Servosistema es controlar la posición de la carga mecánica de acuerdo con la posición de referencia.

Un par de potenciómetros funcionan como un dispositivo de medición de error. Convierten las posiciones de entrada y salida en señales eléctricas proporcionales. En la Figura 3, un operador manipula el potenciómetro de entrada y determina la posición angular θr(t) del cursor. La posición angular θr(t) genera a su vez un potencial eléctrico que es proporcional a dicha posición angular. Este voltaje, que podemos denominar er(t), alimenta la terminal positiva del amplificador, que puede ser un amplificador diferencial, es decir, que resta la entrada positiva de la negativa (compara la entrada con la salida) y luego amplifica esta diferencia.

El amplificador diferencial tiene una impedancia de entrada muy alta y una impedancia de salida baja, muy conveniente debido a que los potenciómetros son esencialmente circuitos de alta impedancia y no toleran una variación de corriente mientras que al alimentar el circuito de la armadura del motor, la salida del amplificador no influye significativamente en el valor de la resistencia de dicha armadura.

Por su parte, la posición del eje de salida del motor, que es un desplazamiento angular, determina la posición angular θc(t) del cursor del potenciómetro de salida, el cual genera un potencial eléctrico ec(t), que luego alimenta el terminal negativo del amplificador diferencial, tal como se muestra en la Figura 3.

La diferencia entre er(t) y ec(t) es la señal de error e(t), o bien:

El objetivo del sistema de control de posición es actuar hasta reducir la señal de error e(t) a cero, lo que implica que la posición de la carga tendría el mismo valor que la señal de referencia (la entrada). Si existe un error (er(t) y ec(t) no son iguales), el motor DC desarrolla un par para rotar la carga de salida de tal forma que el error se reduzca a cero.

A la salida del amplificador se presenta el voltaje ea(t) que se aplica a la armadura del motor DC, tal como se muestra en la Figura 4.

Figura 4. Amplificador.

Si Ka es la ganancia constante del amplificador diferencial, entonces:

Necesitaremos la transformada de Laplace de las ecuaciones relevantes del sistema para poder desarrollar el diagrama de bloques del mismo. Luego de aplicar la transformada de Laplace a la ecuación anterior, obtenemos:

Para obtener el resto de las ecuaciones del sistema, analizamos cada etapa del mismo por separado.

Cuando el motor DC está incorporado a un sistema electromecánico como el de la Figura 3, se dice que está a lazo cerrado. Para obtener la función de transferencia Gm(s) del motor a lazo cerrado, se debe obtener el momento de inercia equivalente que actúa sobre el eje de salida del motor, el cual incluye el momento de inercia del motor Jm y el momento de inercia de la carga JL. Por tanto las ecuaciones del motor presentadas con anterioridad, varían. Es necesario calcular esta variación, cosa que haremos al estudiar el tren de engranajes.

Análisis de los Potenciómetros

Un potenciómetro es un transductor electromecánico que convierte energía mecánica en energía eléctrica. La entrada del dispositivo es una forma de desplazamiento mecánico que puede ser traslacional o rotacional. Cuando se aplica un voltaje a través de las terminales fijas del potenciómetro, el voltaje de salida er(t), que se mide entre la terminal variable y tierra, es proporcional al desplazamiento de entrada θr(t), multiplicada por la constante de ganancia del potenciómetro Kr. La Figura 5 muestra el esquema para el potenciómetro rotacional que forma parte de la Figura 3. De inmediato se presenta la expresión matemática para la ganancia del potenciómetro de entrada:

Figura 5. Potenciómetro rotacional de entrada del sistema. 

Procediendo de igual forma podemos obtener la ganancia para el potenciómetro de salida del sistema de la Figura 3:

Tomar en cuenta que, en la Figura 3:

Entonces:

Recordando que:

Sustituyendo obtenemos que:

Aplicando transformada de Laplace:

 

Análisis del tren de engranaje

Los trenes de engranajes se utilizan con mucha frecuencia en los sistemas electromecánicos con el fin de reducir la velocidad, amplificar el par o para obtener la transferencia de potencia más eficiente apareando el miembro impulsor con una carga dada. El tren de engranajes de la Figura 3 y su carga, se amplifican en la Figura 6:

Figura 6. Tren de engranajes de la Figura 1

En el tren de engranajes de la Figura 6, se puede demostrar que:

Y que:

 Haciendo igualaciones convenientes obtenemos que:

Es decir, si lo que nos interesa es determinar el torque en el eje del motor, o sea Tm, entonces podemos utilizar el hecho de que:

En definitiva, en base a lo anterior se puede comprobar que la manera más práctica de reflejar la carga JL hacia el eje de entrada del tren de engranaje en la Figura 3 para determinar la masa inercial equivalente Jeq vista por el motor en su eje de salida (flecha del motor), es mediante la siguiente fórmula:

Igual sucede con el coeficiente de fricción equivalente vista por por la flecha del motor:

Análisis del Motor DC y su carga

Con esta nueva información, podemos hallar las ecuaciones del motor y su carga. Luego, hallar la ecuación de transferencia Gm(s) para representar al motor, y al servosistema en su totalidad, mediante un diagrama de boques.

Considere la Figura 7, que representa la etapa del servosistema donde se localiza el motor DC y la conexión con su carga JL a través del tren de engranajes:

Figura 7. El motor DC, su carga y el tren de engranajes.

Considerando que:

La dinámica del motor y su carga mostrados en la Figura 7 es la siguiente:

La función de transferencia directa del motor Gm(s), donde:

Es:

Esta función fue deducida en el siguiente link: Función de transferencia del Motor DC y su carga

Utilizando la función de transferencia directa del motor y la transformada de Laplace de la ecuación (5), podemos representar el sistema de la Figura 7 mediante el siguiente diagrama de bloques:

Figura 8. Diagrama de bloques del motor y su carga
Diagrama de bloques y función de transferencia del sistema de control de posición. 

Haciendo uso del diagrama de la Figura 8, y de todos los resultados anteriores, podemos representar el sistema de seguimiento de la Figura 3 mediante el siguiente diagrama de bloques:

Figura 8. Diagrama de bloques del sistema de control de posición de la Figura 1.

La Figura 8 muestra una realimentación unitaria negativa, por lo que θL(s)/ θr(s) se puede calcular mediante la fórmula:

En conclusión, la función de transferencia θL(s)/ θr(s)  del sistema de seguimiento es:

Ejemplos de aplicación:

1. La Figura 9.16 muestra otro ejemplo, el sistema ARMII, muy utilizado en robótica industrial, una articulación hombro / enlace electromecánica, accionada por un servomotor de corriente continua con controlador de armadura, donde se contrasta la configuración a lazo abierto con aquella a lazo cerrado:

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2. Obtener modelo matemático del sistema de control de posición de la Figura siguiente. Obtener su diagrama de bloques y la función de transferencia entre el ángulo de la carga y el ángulo de referencia θc(s)/θc(s).

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Respuesta:

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Todo el ejercicio está resuelto en el siguiente link:

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Electrónica de Potencia.

El motor DC es siempre manejado por un amplificador de potencia que actúa como fuente de energía.

El desempeño de los servomotores utilizados en Robótica son altamente dependientes del uso de amplificadores de potencia eléctrica y controles electrónicos, una rama comúnmente conocida como Electrónica de potencia (Power Electronic). Los actuadores en aplicaciones de robótica, en especial los Motores DC, deben ser controlados con precisión con el fin de obtener, por ejemplo, el movimiento deseado en brazos y piernas de un robot. Esto requiere del uso de amplificadores de potencia para suministrar el correcto nivel de voltaje (o corriente) a la armadura del motor. Para lograr esto, el uso de amplificadores proporcionales como el amplificador operacional discutido con anterioridad resulta ser un método muy ineficiente y posiblemente destructivo debido a la gran pérdida de potencia en forma de calor. Una alternativa es el control de voltaje utilizando un conmutador ON-OFF. PWM (Pulse Width Modulation por sus siglas en Inglés ) es el método más común para variar el voltaje promedio suministrado a un motor DC. Ver: Sistema de control de un motor DC en Matlab – PWM (Pulse Width Modulation)

SIGUIENTE:

Fuentes:

  1. Chapter 2, Block Diagram of EM Systems, pp 21, 43(23) (Fuchs E.F., Masoum M.A.S. (2011) Block Diagrams of Electromechanical Systems. In: Power Conversion of Renewable Energy Systems. Springer, Boston, MA)
  2. Control Systems Engineering, Nise
  3. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
  4. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
  5. dinamica_de_sistemas
  6. Actuators and Drive System – Robótica
  7. Libro Rashid – Power Electronic Handbook
  8. Introduction to robotic mechanic and control
Atención:

Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. 

INDICE

  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

Escrito por: Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer.

Mentoring Académico / Emprendedores / Empresarial.

Copywriting, Content Marketing, Tesis, Monografías, Paper Académicos, White Papers (Español – Inglés)

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

Escuela de Turismo de la Universidad Simón Bolívar, Núcleo Litoral.

Contacto: Jaén – España: Tlf. 633129287

Caracas, Quito, Guayaquil, Lima, México, Bogotá, Cochabamba, Santiago.

WhatsApp: +34 633129287

Twitter: @dademuch

FACEBOOK: DademuchConnection

email: dademuchconnection@gmail.com

Atención:

Si lo que Usted necesita es resolver con urgencia un problema de “Sistema Masa-Resorte-Amortiguador” (encontrar la salida X(t), gráficas en Matlab del sistema de 2do Orden y parámetros relevantes, etc.), o un problema de “Sistema de Control Electromecánico” que involucra motores, engranajes, amplificadores diferenciales, etc…para entregar a su profesor en dos o tres días, o con mayor urgencia…o simplemente necesita un asesor para resolver el problema y estudiar para el próximo examen…envíeme el problema…opcional  simulación en Matlab.

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Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab – Introducción

Estabilidad de un sistema de control

Error en estado estable de un sistema de control

PID – Acciones Básicas de Sistemas de Control

PID – Efecto de las acciones de control Integral y Derivativo

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25 comentarios en “Dinámica de un Sistema Electromecánico con Motor DC.”

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