Dinámica de un Sistema Electromecánico con Motor DC.

El Servomotor DC controlado por armadura es quizás el más utilizado de los componentes que conforman un sistema electromecánico en robótica. En aplicaciones industriales encontraremos también los dos motores AC trifásicos más comunes: motores de inducción y motores sincrónicos. En esta oportunidad  abordaremos el caso de los sistemas con Motores DC como una forma de aproximarnos al estudio de sistemas de control para sistemas electromecánicos.

Figura 1. Sistema electromecánico con motor DC. Sistema de control de posición para una antena Azimuth. 

Para obtener la Dinámica de un sistema electromecánico como el que se muestra en la Figura 1, el primer paso es deducir la Dinámica del Motor DC, cuyo esquema general se presenta en la Figura 2:

Deducción de ecuaciones del Motor DC a partir de principios físicos

Obtener las ecuaciones que gobiernan la dinámica de un motor implica el conocimiento de los conceptos básicos del movimiento rotatorio, así como los fundamentos de campo magnético y las leyes de Newton. Para dar un repaso, ver: Movimiento Rotatorio – Conceptos básicos., Concepto de Campo Magnético.

Un Motor DC puede estar controlado por campo o por armadura. El caso más frecuente es el control por corriente (o voltaje) de armadura. Haciendo referencia a la Figura 2, un imán estacionario permanente o un electroimán genera un flujo magnético Φ, constante, denominado Fixed Field. Este flujo Φ es generado a su vez por una corriente de campo i_f que se supone constante (de allí deriva el nombre de Motor DC o motor de corriente continua).

El motor es controlado por un voltaje e_a(t) aplicado a los terminales de la armadura. Aplicando el método de análisis de circuitos eléctricos de Kirchhoff al circuito de la Figura 2.a , deducimos la primera ecuación importante del sistema:

Donde La y Ra representan la inductancia y la resistencia de la armadura respectivamente.

La armadura es un circuito rotativo a través del cual circula una corriente i_a(t). Cuando la armadura pasa en ángulos rectos a través del flujo magnético Φ, siente una fuerza F=BLi_a(t) donde B es la intensidad del campo magnético y L es la longitud de la bobina o conductor. El torque T_m(t) que resulta de esta interacción hace girar el rotor, el cual es el miembro rotatorio del motor. Para un análisis lineal es necesario suponer que este torque o par es proporcional al flujo magnético Φ y a la corriente i_a(t) . De esta suposición obtenemos la siguiente ecuación del sistema:

Donde K_m es constante. Como hemos dicho que Φ también es constante, el factor K_m*Φ de la ecuación anterior se reduce a una constante denominada K_i. De esta manera, dicha ecuación se reduce a:

Donde K_i es La Constante de Proporcionalidad, también llamada constante de torque del motor (o constante de par) y es uno de los parámetros dados por los fabricantes de motores. K_i, con frecuencia denominada también K_t , viene en N-m/A.

Nota: cuando el motor es controlado por una corriente en el campo, con el fin de obtener un sistema lineal la corriente de armadura debe ser considerada constante y así el torque del motor viene dado por T_m= K_mi_f, donde i_f es la corriente de campo.

Otro importante fenómeno ocurre en el motor: Cuando el conductor (o bobina) de la armadura se mueve en ángulos rectos a través del campo magnético Φ,se genera un voltaje v_b(t) en las terminales del conductor. Ya que la armadura rota en un campo magnético, el voltaje generado en su bobina es proporcional a la velocidad ω_m(t) de rotación de la armadura. De esta manera obtenemos otra ecuación de gran importancia:

Dónde:

Denominamos a v_b(t) la Fuerza Contraelectromotriz (o back emf por sus siglas en inglés); K_b es la constante de proporcionalidad llamada también constante emf. 

Aunque el Motor DC es por sí mismo un sistema en lazo abierto, veremos más adelante que la fuerza contraelectromotriz v_b(t) provoca un lazo realimentado dentro del motor, actuando como una “fricción eléctrica” que tiende a mejorar la estabilidad del motor.

Por último, aplicando las leyes de Newton para movimientos mecánicos rotacionales obtenemos:

Donde J_m es el momento inercial ( o inercia simplemente) del rotor, y b_m es el coeficiente de fricción viscosa del motor.

Es importante recalcar que estamos definiendo las ecuaciones del motor “a lazo abierto”, es decir, sin realimentación, como en la Figura 1. Por tanto, hemos logrado definir el conjunto de ecuaciones que determina la Dinámica del Motor DC operando en lazo abierto:

dónde:

Obtención del diagrama de bloques del sistema

Para representar la dinámica del Motor DC en diagrama de bloques, el siguiente paso consiste en aplicar la Transformada de Laplace al sistema de ecuaciones obtenidas anteriormente.

Luego de aplicar Laplace, obtenemos el siguiente conjunto de ecuaciones:

Para elaborar el diagrama de bloques del motor DC a lazo abierto a partir de este sistema de ecuaciones, empezamos dibujando el diagrama de bloques para la salida θ_m(s), luego mediante un integrador obtenemos Ω_m(s), que es la notación para velocidad angular luego de aplicar la transformada de Laplace:

Paso siguiente, despejamos Ω_m(s)  de la ecuación (1) y agregamos este resultado de manera conveniente al diagrama de bloques:

Ahora, podemos obtener T_m(s) directamente de la ecuación (4), y seguimos agregando bloques al diagrama de bloques del sistema:

Por último, utilizamos las ecuaciones (2) y (3) para despejar y obtener la expresión para I_a(s):

De esta manera, tomando a E_a(s) como la entrada y a θ_m(s) como la salida,  se representa el sistema a continuación mediante El Diagrama de Bloques para un Motor DC operando a lazo abierto:

Aquí podemos corroborar lo que señalamos antes, que la fuerza contraelectromotriz, proporcional a K_bΩ_m(s), genera un lazo realimentado negativo que tiende a estabilizar el sistema.

La función de transferencia G_m(s) para un Motor DC a lazo abierto, es:

La función de transferencia fue deducida en el siguiente link: Dinámica de un Motor DC

La configuración del sistema electromecánico más comúnmente utilizado se muestra en la  Figura 2.15, operando a una velocidad constante y sin lazo de realimentación. La mayoría de estos sistemas se representan utilizando sólo las funciones de transferencia de cada equipo en un diagrama de bloques lo más resumido posible. Por tanto, generalmente es mucho más útil representar el motor y su carga mediante un único bloque, cosa que haremos más adelante.

La operación del motor DC en lazo abierto es aceptable para muchas aplicaciones donde una posición fija con cierto margen de error (un ascensor) o una velocidad fija (una motosierra) es suficiente. Sin embargo, en aplicaciones donde la velocidad es variable (una banda transportadora) o la posición debe ser controlada de manera muy precisa (un telescopio), será necesario seleccionar un control a lazo cerrado con realimentación negativa. A continuación analizamos el caso frecuente donde el Motor DC funciona como parte de un sistema a lazo cerrado denominado Sistema de Control de Posición.

Sistema electromecánico con Motor DC a lazo cerrado 

A continuación, vamos a deducir la Función de Transferencia θ_L(s)/ θ_r(s) para el Servosistema de la Figura 3, a partir de análisis detallado de cada uno de los componentes de dicho sistema electromecánico.

Dinámica del sistema - Amplificador diferencial

El objetivo de un Servosistema es controlar la posición de la carga mecánica de acuerdo con la posición de referencia.

Un par de potenciómetros funcionan como un dispositivo de medición de error. Convierten las posiciones de entrada y salida en señales eléctricas proporcionales. En la Figura 3, un operador manipula el potenciómetro de entrada y determina la posición angular θ_r(t) del cursor. La posición angular θ_r(t) genera a su vez un potencial eléctrico que es proporcional a dicha posición angular. Este voltaje, que podemos denominar e_r(t), alimenta la terminal positiva del amplificador, que puede ser un amplificador diferencial, es decir, que resta la entrada positiva de la negativa (compara la entrada con la salida) y luego amplifica esta diferencia.

El amplificador diferencial tiene una impedancia de entrada muy alta y una impedancia de salida baja, muy conveniente debido a que los potenciómetros son esencialmente circuitos de alta impedancia y no toleran una variación de corriente mientras que al alimentar el circuito de la armadura del motor, la salida del amplificador no influye significativamente en el valor de la resistencia de dicha armadura.

Por su parte, la posición del eje de salida del motor, que es un desplazamiento angular, determina la posición angular θ_c(t) del cursor del potenciómetro de salida, el cual genera un potencial eléctrico e_c(t), que luego alimenta el terminal negativo del amplificador diferencial, tal como se muestra en la Figura 3.

La diferencia entre e_r(t) y e_c(t) es la señal de error e_(t), o bien:

El objetivo del sistema de control de posición es actuar hasta reducir la señal de error e_(t) a cero, lo que implica que la posición de la carga tendría el mismo valor que la señal de referencia (la entrada). Si existe un error (e_r(t) y e_c(t) no son iguales), el motor DC desarrolla un par para rotar la carga de salida de tal forma que el error se reduzca a cero.

A la salida del amplificador se presenta el voltaje e_a(t) que se aplica a la armadura del motor DC, tal como se muestra en la Figura 4.

Si K_a es la ganancia constante del amplificador diferencial, entonces:

Necesitaremos la transformada de Laplace de las ecuaciones relevantes del sistema para poder desarrollar el diagrama de bloques del mismo. Luego de aplicar la transformada de Laplace a la ecuación anterior, obtenemos:

Para obtener el resto de las ecuaciones del sistema, analizamos cada etapa del mismo por separado.

Cuando el motor DC está incorporado a un sistema electromecánico como el de la Figura 3, se dice que está a lazo cerrado. Para obtener la función de transferencia G_m(s) del motor a lazo cerrado, se debe obtener el momento de inercia equivalente que actúa sobre el eje de salida del motor, el cual incluye el momento de inercia del motor J_m y el momento de inercia de la carga J_L. Por tanto las ecuaciones del motor presentadas con anterioridad, varían. Es necesario calcular esta variación, cosa que haremos al estudiar el tren de engranajes.

Análisis de los Potenciómetros

Un potenciómetro es un transductor electromecánico que convierte energía mecánica en energía eléctrica. La entrada del dispositivo es una forma de desplazamiento mecánico que puede ser traslacional o rotacional. Cuando se aplica un voltaje E a través de las terminales fijas del potenciómetro, el voltaje de salida e_r(t), que se mide entre la terminal variable y tierra, es proporcional al desplazamiento de entrada θ_r(t), multiplicada por la constante de ganancia del potenciómetro K_r. La Figura 5 muestra el esquema para el potenciómetro rotacional que forma parte de la Figura 3. De inmediato se presenta la expresión matemática para la ganancia del potenciómetro de entrada:

Figura 5. Potenciómetro rotacional de entrada del sistema. 

Procediendo de igual forma podemos obtener la ganancia para el potenciómetro de salida del sistema de la Figura 3:

Tomar en cuenta que, en la Figura 3:

Entonces:

Recordando que:

Sustituyendo obtenemos que:

Aplicando transformada de Laplace:

 

Análisis del tren de engranaje

Los trenes de engranajes se utilizan con mucha frecuencia en los sistemas electromecánicos con el fin de reducir la velocidad, amplificar el par o para obtener la transferencia de potencia más eficiente apareando el miembro impulsor con una carga dada. El tren de engranajes de la Figura 3 y su carga, se amplifican en la Figura 6:

Figura 6. Tren de engranajes de la Figura 1

En el tren de engranajes de la Figura 6, se puede demostrar que:

Y que:

 Haciendo igualaciones convenientes obtenemos que:

Es decir, si lo que nos interesa es determinar el torque en el eje del motor, o sea T_m, entonces podemos utilizar el hecho de que:

En definitiva, en base a lo anterior se puede comprobar que la manera más práctica de reflejar la carga J_L hacia el eje de entrada del tren de engranaje en la Figura 3 para determinar la masa inercial equivalente J_eq vista por el motor en su eje de salida (flecha del motor), es mediante la siguiente fórmula:

Igual sucede con el coeficiente de fricción equivalente vista por por la flecha del motor:

Análisis del Motor DC y su carga

Con esta nueva información, podemos hallar las ecuaciones del motor y su carga. Luego, hallar la ecuación de transferencia G_m(s) para representar al motor, y al servosistema en su totalidad, mediante un diagrama de boques.

Considere la Figura 7, que representa la etapa del servosistema donde se localiza el motor DC y la conexión con su carga J_L a través del tren de engranajes:

Considerando que:

La dinámica del motor y su carga mostrados en la Figura 7 es la siguiente:

La función de transferencia directa del motor G_m(s), donde:

Es:

Esta función fue deducida en el siguiente link: Función de transferencia del Motor DC y su carga

Utilizando la función de transferencia directa del motor y la transformada de Laplace de la ecuación (5), podemos representar el sistema de la Figura 7 mediante el siguiente diagrama de bloques:

Diagrama de bloques y función de transferencia del sistema de control de posición. 

Haciendo uso del diagrama de la Figura 8, y de todos los resultados anteriores, podemos representar el sistema de seguimiento de la Figura 3 mediante el siguiente diagrama de bloques:

La Figura 8 muestra una realimentación unitaria negativa, por lo que θ_L(s)/ θ_r(s) se puede calcular mediante la fórmula:

En conclusión, la función de transferencia θ_L(s)/ θ_r(s)  del sistema de seguimiento es:

Ejemplos de aplicación:

1. La Figura 9.16 muestra otro ejemplo, el sistema ARMII, muy utilizado en robótica industrial, una articulación hombro / enlace electromecánica, accionada por un servomotor de corriente continua con controlador de armadura, donde se contrasta la configuración a lazo abierto con aquella a lazo cerrado:

2. Obtener modelo matemático del sistema de control de posición de la Figura siguiente. Obtener su diagrama de bloques y la función de transferencia entre el ángulo de la carga y el ángulo de referencia θc(s)/θc(s).

Respuesta:

Todo el ejercicio está resuelto en el siguiente link:

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Electrónica de Potencia.

El motor DC es siempre manejado por un amplificador de potencia que actúa como fuente de energía.

El desempeño de los servomotores utilizados en Robótica son altamente dependientes del uso de amplificadores de potencia eléctrica y controles electrónicos, una rama comúnmente conocida como Electrónica de potencia (Power Electronic). Los actuadores en aplicaciones de robótica, en especial los Motores DC, deben ser controlados con precisión con el fin de obtener, por ejemplo, el movimiento deseado en brazos y piernas de un robot. Esto requiere del uso de amplificadores de potencia para suministrar el correcto nivel de voltaje (o corriente) a la armadura del motor. Para lograr esto, el uso de amplificadores proporcionales como el amplificador operacional discutido con anterioridad resulta ser un método muy ineficiente y posiblemente destructivo debido a la gran pérdida de potencia en forma de calor. Una alternativa es el control de voltaje utilizando un conmutador ON-OFF. PWM (Pulse Width Modulation por sus siglas en Inglés ) es el método más común para variar el voltaje promedio suministrado a un motor DC. Ver: Sistema de control de un motor DC en Matlab – PWM (Pulse Width Modulation)

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SIGUIENTE:

• Motor DC – Problemas resueltos de sistema electromecánico – Función de Transferencia – Catálogo 6
• Sistema de control de un motor DC en Matlab – PWM (Pulse Width Modulation)
• Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico
• Ejemplo 2 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico
• Definición de Electrónica de Potencia
• Driver de Motor DC
• Servomotores – Sistema de control de posición
• Servomotores – Respuesta transitoria de un sistema de control de posición.
• Sistema de control de posición con realimentación de velocidad
• Dinámica de un Motor DC – Diagrama de bloques – Función de Transferencia
• Función de transferencia del Motor DC y su carga

Fuentes:

1. Chapter 2, Block Diagram of EM Systems, pp 21, 43(23) (Fuchs E.F., Masoum M.A.S. (2011) Block Diagrams of Electromechanical Systems. In: Power Conversion of Renewable Energy Systems. Springer, Boston, MA)
2. Control Systems Engineering, Nise
3. Sistemas de Control Automatico Benjamin C Kuo
4. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
5. dinamica_de_sistemas
6. Actuators and Drive System – Robótica
7. Libro Rashid – Power Electronic Handbook
8. Introduction to robotic mechanic and control
9. Control de motores eléctricos
10. QUBE-Servo 2 First Principles Modeling Workbook
11. Getty Images

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