Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Los Diagramas de Bloques son representaciones que permiten desarrollar esquemas para comprender más fácilmente las operaciones de control en el sistema, representando pictóricamente la función de cada elemento físico de dicho sistema. 

Para un explicación rápida sobre cómo reducir un diagrama de bloques, te recomiendo los videos al final de este artículo, donde resuelvo los ejercicios siguientes:

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Cimientos

Un sistema de control puede estar compuesto por numerosos mecanismos eléctricos (resistencias, inductancias, capacitores), electrónicos (amplificadores, controladores), electromecánicos (motores, generadores). Para representar todos estos componentes y la manera como fluye la información entre ellos, los ingenieros de control se valen de Los Diagramas de Bloques. Esta representación permite desarrollar esquemas para comprender más fácilmente las operaciones de control en el sistema, representando pictóricamente la función de cada elemento físico de dicho sistema.

A diferencia de una representación puramente matemática integrada por ecuaciones diferenciales, o su equivalente luego de utilizar la Transformada de Laplace o Variables de Estado, los diagramas de bloques nos permiten visualizar de una manera más realista el flujo de las señales en el sistema.

Sistemas.

En el diseño de sistemas mecatrónicos, uno de los pasos incluidos es crear un modelo del sistema. Tales modelos implican dibujar diagramas de bloques para representar dichos sistemas. Un sistema puede ser considerado como una caja o diagrama de bloques que tiene una entrada o una salida, en donde lo importante no es lo que sucede dentro de la caja sino sólo la relación entre la entrada y la salida de la caja. Así, un resorte puede considerarse como un sistema  cuya entrada es una fuerza F y cuya salida es una extensión x. la ecuación utilizada para modelar la relación entre la entrada y la salida es F=kx, donde k es la constante del resorte. Otros sistemas que se pueden modelar de la misma forma son un motor y un termómetro:

Por supuesto, los sistemas por lo general están compuestos por la conexión de múltiples subsistemas. Las Figuras b y c muestran un esquema para la “Antenna azimuth position control system”, y la Figura d muestra su Diagrama de Bloques Funcional:

Cada bloque del diagrama, denominado Bloque Funcional, consiste en un rectángulo que en su centro muestra la operación matemática aplicada a la señal de entrada (etiquetada con una flecha que entra al bloque) y que produce la señal de salida (etiquetada con una flecha que sale del bloque)

Un solenoide es considerado como un sistema híbrido (electromecánico), representado mediante el siguiente diagrama de bloques a lazo abierto, donde se muestra la conexión en serie de tres sistemas de primer grado (parte eléctrica), cero grado (transductor) y segundo grado (parte mecánica):

En los coches el solenoide es componente fundamental de varias piezas esenciales, pero por lo general se refiere al solenoide que forma parte del motor de arranque:

Motor de arranque de un coche. El cilindro más pequeño de la parte superior es el solenoide.
(actualidadamotor.com)

A continuación se presenta el marco teórico y las reglas del álgebra de diagramas de bloques. Si lo que busca son ejercicios y aplicaciones concretas, recomiendo ver:

Diagrama de bloques – Problemas resueltos –  Catálogo 8

Ejercicio de diagrama de bloques a partir de la Transformada de Laplace

Ejercicio de Diagrama de bloques a partir de representación en variables de estado 

Diagrama de Bloques para un Sistema Electromecánico

Sistema de primer orden a lazo abierto y a lazo cerrado

Representación de Función de Transferencia 

La Figura 3-2 muestra los elementos de un Bloque Funcional. La dimensión de la señal de salida es la dimensión de la señal de entrada multiplicada por la función del bloque, mejor conocida como Función de Transferencia G(s).

El aporte más importante de un diagrama de bloques es que permite al ingeniero de control visualizar la operación y funcionalidad del sistema de control en su totalidad, de una manera incluso más práctica que observando directamente el sistema físico mismo. Sin embargo, el diagrama de bloques ofrece información puramente relacionada con el comportamiento dinámico del sistema, también llamado Dinámica del Sistema. Es decir, el diagrama de bloques no nos dice cómo está construido físicamente el sistema en realidad. Por ello, dos o más sistemas de control físicamente distintos y no relacionados pueden estar representados por el mismo diagrama de bloques.

Cada Bloque Funcional es considerado en sí mismo un subsistema. Cuando múltiples subsistemas se interconectan se hace necesario añadir nuevos elementos al diagrama de bloques. Aparecen entonces de acuerdo con Ogata (1998), los Puntos Suma (summing point) y los Puntos de Ramificación (pickoff points).

Puntos Suma y Puntos de Ramificación

Las características de cada elemento pueden observarse en la Figura 5-2

Los puntos de suma permiten ejecutar una de las operaciones más importantes de un sistema de control: la comparación entre dos o más señales (Figure 5-2-c). Ejemplos del tipo de aparatos utilizados en este tipo de operaciones son El Potenciómetro y El Amplificador Operacional. La Figura 3-3 muestra que tan diversas pueden ser estas operaciones:

Por su parte los puntos de ramificación permiten distribuir una señal de entrada hasta varios puntos de salida (Figure 5-2-d).

Ahora examinaremos las topologías más comunes en las cuáles estos subsistemas llamados Bloques Funcionales se interconectan. También hablaremos de la técnica básica para reducir estas configuraciones a un sólo bloque y, por ende, a una Función de Transferencia única.

Forma de Cascada

La Figura 5-3 muestra un ejemplo de Diagrama de Bloques en Cascada. Los valores de las señales intermedias se muestran a la salida de cada subsistema. Cada uno de estos valores se obtiene como resultado de multiplicar la Transformada de Laplace de la entrada por la Transformada de Laplace de la Función de Transferencia de cada bloque:

La Función de Transferencia Ge(s) se observa en la Figura 5-3b y es resultado de dividir la Transformada de Laplace de la salida entre la Transformada de Laplace de la entrada:

Forma en paralelo.

La Figura 5-5 muestra un ejemplo de Diagrama de Bloques en Paralelo.

Nuevamente en la figura anterior se procede a multiplicar la Transformada de Laplace de la entrada de cada bloque por la Transformada de Laplace de su Función de Transferencia. Luego, a la salida de cada subsistema encontramos los valores de las señales intermedias.

Los subsistemas en paralelo tienen una entrada en común y su salida se forma como producto de la suma algebraica de todas las salidas de cada uno de los bloques. Una vez más, la Función de Transferencia equivalente Ge(s) para todo el sistema es la siguiente:

Forma realimentación.

La Figura 3-4 muestra un ejemplo de diagrama de bloque para un Sistema de Control con Realimentación (Feedback System), también conocido como Sistema de Lazo Cerrado. El punto de suma es realimentado con la salida C(s) para ser comparada con la señal de referencia R(s).

Donde:

La configuración de la La Figura 3-4 se denomina Sistema de control con realimentación unitaria, y es una de las más importantes en la ingeniería de control ya que permite el cálculo rápido de los parámetros más utilizados en las especificaciones de diseño para respuesta transitoria y respuesta en estado estable. Por ello, gran parte del proceso de reducción de un diagrama de bloques complejo tiene como finalidad expresar dicho sistema complejo por medio de un diagrama de bloques de realimentación unitaria.

Con frecuencia, cuando la señal de salida C(s) es realimentada al punto de suma para su comparación, es necesario primero transformar dicha señal de salida a una unidad que coincida con la de la señal de entrada (por ejemplo, m/s con m/s, cuando se comparan velocidades). Es decir, para que ambas señales puedan ser sometidas a una operación matemática deben estar expresadas en las mismas dimensiones. En este caso, en el camino de regreso, durante la realimentación, la señal de salida es tratada por un transductor . La transformación es lograda por un transductor cuya Función de Transferencia es H(s):

Para el sistema de la figura anterior la salida C(s) y la entrada R(s) están relacionadas como sigue:

La Función de Transferencia que relaciona C(s) y R(s) se denomina Función de Transferencia de Lazo Cerrado.

Para ver un buen ejemplo de aplicación de estas reglas de operación de diagramas de bloques, ver:

Ejercicio de diagrama de bloques a partir de la Transformada de Laplace

Ejercicio de Diagrama de bloques a partir de representación en variables de estado 

Diagrama de Bloques para un Sistema Electromecánico

La siguiente tabla resume las reglas básicas del álgebra de bloques:

El objetivo al aplicar el álgebra de bloques para la reducción de diagramas de bloques es hacer que los bucles estén anidados unos dentro de otros o que los bucles estén completamente separados para que se pueda aplicar la regla 8 de la siguiente tabla de equivalencias. Hay que tener en cuenta que no se puede cambiar un punto de suma con un punto de bifurcación ni viceversa.

Tabla de equivalencias

El siguiente ejemplo ilustra la manera de obtener la Función de Transferencia de un modelo con realimentación, utilizando las reglas mencionadas en la Tabla 3-1 y las del modelo en cascada, para reducir Diagramas de Bloques:

Ejemplos de reducción de diagramas de bloques - Hallar la función de transferencia mediante álgebra de bloques.

1. Obtener la función de transferencia G_(s)=Y_(s)/R_(s)  de la Figura 1, empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques.

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2. Determinar la función de transferencia

El objetivo al aplicar el álgebra de bloques para la reducción de diagramas de bloques es hacer que los bucles estén anidados unos dentro de otros o que los bucles estén completamente separados para que se pueda aplicar la regla 8 de las tablas de equivalencias. Hay que tener en cuenta que solo se pueden aplicar las reducciones que aparecen en las tablas de equivalencias mostradas en la tabla 3-1 de esta guía.

Para ver la solución de este problema ver: Diagrama de bloques – Catálogo 8

Fuentes:

1. Modern_Control_Engineering, Ogata 4t
2. Senales y Sistemas – Shaum
3. Control Systems Engineering, Nise
4. Sistemas de Control Automatico, Kuo
5. Mecatrónica sistemas de control electrónico en la ingeniería mecánica y eléctrica, Bolton
6. Introducción a los sistema de control con Matlab, Hernández Gaviño

Para más ejemplos y problemas resueltos te puede interesar: Diagrama de bloques – Catálogo 8

Donación

Diagrama de Bloques - Problemas resueltos - Catálogo 8

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1. Obtener la función de transferencia G_(s)=Y_(s)/R_(s)  de la Figura 1, por dos métodos: empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques y utilizando la fórmula de Mason.

2. Obtener la función de transferencia G_(s)=C_(s)/R_(s)  de la Figura 2, por dos métodos: empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques y utilizando la fórmula de Mason.

3. Obtener la función de transferencia G_(s)=C_(s)/R_(s)  de la Figura 3, empleando técnicas de reducción por álgebra de bloques.

4. Determinar la función de transferencia G_(s)=Y_(s)/R_(s)  en el siguiente diagrama de bloques.  

5. Hallar las ecuaciones del sistema de la Figura 7 y representarlo mediante variables de estado. A partir de allí determinar el diagrama de bloques del sistema. Luego, utilizando álgebra de diagrama de bloques, Hallar la función de transferencia X_(s)/U_(s). Considerar a x_(t) como la salida y a u_(t) como la entrada. Comprobar el resultado mediante transformada de Laplace.

6. Hallar las ecuaciones del sistema de la Figura 8. Hallar la representación matricial del sistema (variables de estado). Considere a x_1(t) como la salida, y a u_(t) como la entrada. Construya el diagrama de bloques del sistema y utilizando álgebra de bloques determinar la función de transferencia X_1(s)/U_(s).

7. Hallar las ecuaciones del sistema de la figura 22. Determinar la función de transferencia X_1(s)/U_(s). Determinar el diagrama de bloques del sistema a partir de la función de transferencia obtenida.

8. Hallar las ecuaciones del Sistema de la Figura 24. Hallar la representación en espacio de estados del sistema, considerando a Θ_1(t) como la salida y a T_(t) como la entrada. Hallar el diagrama de bloques del sistema y a partir de allí, mediante álgebra de bloques, determinar la función de transferencia Θ_1(s)/T_(s).

9. Hallar las ecuaciones del sistema de la Figura 25. Determinar la función de transferencia X_1(s)/F_(s). Obtener el diagrama de bloques del sistema a partir de la función de transferencia obtenida (Explicar paso a paso). Graficar la respuesta del sistema a una entrada función escalón mediante Matlab. Considerar k₁= k₂= k₃= 1 N/m, b₁= b₂= b₃=1 N-s/m, m₁= m₂= m₃=1 Kg.

Gráfica de respuesta al escalón unitario del ejercicio 9.

10. Determinar las ecuaciones diferenciales que representan el modelo del sistema de la Figura 75. Utilizar el método de análisis de nodos. Hallar la función de transferencia V_o(s)/V_(s). Realice la representación del sistema en diagrama de bloques a partir de la función de transferencia V_o(s)/V_(s). Considerar R₁=1Ω,  R₂= R₃=1 Ω, L=1 H, C₁=C₂=1 pF.

11. Obtener la función de transferencia V_o(s)/V_(s) del sistema eléctrico de la figura 75, a partir del diagrama de bloques del sistema obtenido en el problema 10, utilizando álgebra de bloques. Simular y analizar en Matlab la respuesta del sistema a una entrada escalón unitario.

12. Hallar la representación en espacio de estados del Sistema mostrado en la Figura 39 suponiendo que Θ_4(t) es la salida y T_(t) es la entrada. Dibujar el diagrama de bloques del sistema y hallar la función de transferencia Θ_4(t)/T_(t). Considerar k=2 N-m/rad, b=16 N-m-s/rad, J=4  Kg-m²

13. Hallar la función de transferencia Θ_L(s)/E_i(s) del Sistema mostrado en la Figura 56. Hallar la representación en espacio de estados del sistema, suponiendo que Θ_L(t) es la salida y que e_i(t) es la entrada. Representar el Sistema mediante un diagrama de bloques. A partir del diagrama de bloques del sistema, determinar nuevamente y por medio de álgebra de bloques la función de transferencia Θ_L(s)/E_i(s).

14. Hallar la función de transferencia Θ_L(s)/Θ_r(s) del Sistema  mostrado en la Figura 59. Diseñar el diagrama de bloques del sistema.

15. Hallar la función de transferencia Q_2(s)/Q_1(s) del Sistema de Nivel de Líquido mostrado en la Figura 68. Hallar la representación en espacio de estados del Sistema tomando a q_2(t) como la salida, y a q_1(t) como la entrada. Obtener el diagrama de bloques del sistema y determinar la misma función de transferencia por medio de álgebra de bloques.

16. Un modelo muy simplificado de la dinámica de un cohete, se observa en la Figura 1. Una barra uniforme de masa m y longitud 2L, sometida a la fuerza de la gravedad en G (centro de gravedad de la barra) y a dos fuerzas exteriores aplicadas en su extremo inferior: una vertical V_(t) y otra horizontal H_(t). Se pide: i) Dibujar el diagrama de variables de entrada y salida. Caracterizar el punto de equilibrio determinado por x₍₀₎=0, y₍₀₎=0, .ii) Obtener el sistema de ecuaciones linealizado alrededor del punto de equilibrio. iii) Dibujar el diagrama de bloques del sistema. iV)Obtener a partir de él las funciones de transferencia:

17. Determinar la expresión para la salida C_(s) del sistema de la Figura 90:

Figura 90

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• Motor DC – Problemas resueltos de sistema electromecánico – Función de Transferencia – Catálogo 6

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