Matemática aplicada - Appd Math, Señales y Sistemas

Sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

Introducción

Los sistemas LTI son aquellos que cumplen con las propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo. De allí las siglas que provienen del inglés “Linear and Time-Invariant”. Su importancia radica en que facilitan enormemente el estudio y análisis de sistemas complejos que puedan ser representados mediante un modelo matemático que cumpla con estas dos condiciones.

Incluso cuando se posee poca información sobre un sistema, un modelo LTI del mismo permite predecir rápidamente como se va a comportar, cuál será la salida para una determinada entrada de prueba, que puede ser un impulso (movimiento súbito que desaparece de inmediato), un escalón (movimiento súbito que se mantiene constante), o una rampa (movimiento que crece o decrece de forma lineal).

Linealidad

Un sistema lineal, en tiempo continuo o discreto, es aquel que posee la importante propiedad de la superposición: si una entrada consiste en la suma ponderada de varias señales, entonces la salida es simplemente la superposición (es decir, la suma ponderada) de las respuestas del sistema a cada una de estas señales.

Sea y1(t) la respuesta del sistema continuo a una entrada x1(t), y sea y2(t) la salida correspondiente a la entrada x2(t). Entonces, el sistema es lineal si:

  • La respuesta a x1(t) + x2(t) es y1(t) + y2(t)
  • La respuesta a k*x1(t) es k*y1(t), donde k es una constante compleja cualquiera.

La primera de estas dos propiedades se llama propiedad de aditividad, mientras que la segunda se conoce como la propiedad de escalamiento u homogeneidad.

El siguiente cuadro sirve de resumen para el estudio de la linealidad de un sistema:

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Invarianza en el tiempo

Un sistema es invariante en el tiempo si un desplazamiento temporal de la señal de entrada produce el mismo desplazamiento en la señal de salida. Es decir:

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El siguiente esquema permite ver como fluye la información en un sistema invariante en el tiempo:

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Ejemplo

Consideremos un sistema S cuya entrada x(t) y salida y(t) están relacionadas mediante:

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Ahora consideramos dos entradas arbitrarias x1(t) y x2(t). Ellas generan las siguientes respuestas:

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Consideremos una tercera entrada x3(t)=a*x1(t)+b*x2(t), la cual genera una salida y3(t) igual a:

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Concluimos entonces que el sistema es lineal.

Fuentes:

  1. Análisis de Sistemas Lineales – Prof. Ebert Brea
  2. Control Systems Engineering, Norman Nise
  3. Oppenheim – Señales y Sistemas
    1. 1.6.6 Linealidad p 53

Revisión literaria hecha por:

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3 comentarios en “Sistemas lineales e invariantes en el tiempo.”

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