Máquinas Eléctricas, Power Distribution

DC Motor – Fundamentals

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DC Motor.

The DC motor is not so used nowadays as it was in the past. For most application, it has been replaced by the solid-state rectifiers. Figure 1 shows an elementary machine equipped with a field winding wound on the stator poles, a rotor coil, and a commutator:

Figure 1. Elementary two-pole DC Machine [1]

The commutator is made up of two semi-circular copper segments mounted on the shaft at the end of the rotor.These segments are insulated from one another as well as from the iron of the rotor. Each terminal of the rotor coil is connected to a copper segment. Stationary carbon brushes ride upon the copper segments whereby the rotor coil is connected to a stationary circuit.

The voltage equations for the field winding and rotor coil are:

Equations 1

The flux linkage is expressed as:

Equations 2

Rf and Ra are the resistances of the field winding and the armature coil. The armature is the term used to refer to the rotor, so both mean the same. The mutual inductance between the field winding and the armature coil is expressed in term of a sinusoidal function of θr as::

Equations 3

where L is a constant. As the rotor revolves, the function of the commutator is to switch the stationary terminals from one terminal of the rotor coil t the other. This commutation occurs at θr=0, Π, 2Π. At the instant of the switch, the brushes are in contact with both copper segments, so the rotor coil is short-circuited.

The way form of the voltage induced in the open-circuit armature coil during constant-speed operation with a constant field winding current may be determined by setting Ia-a´=0 and If=constant. Using the expression from equations 1, 2 and 3, we obtain:

Equations 4

Note that Va-a´=0 at θr=0, Π, 2Π because at this stage is happening the commutation. The next Figure illustrates the commutation:

Figure 2. Commutation of the Elementary DC Machine [1]

Note now that the form of Va makes this configuration an impracticable machine. It could not work effectively as a motor supplied from a voltage source due to the short-circuiting of the armature coil at each commutation.

A more useful machine with 4 pairs of parallel windings is shown in Figure 3, where the rotor is equipped with four a windings and with four A windings, yielding rectified coil voltages.

Figure 3. A DC Machine with parallel windings [1]

Now we have that the form of Va looks like this:

Figure 4. Rectified voltage for a DC Machine with parallel windings [1]

Usually, the number of the rotor coils is more than four reducing by this way the harmonic content of the open-circuit armature voltage Va. In this case, the rotor coil may be approximated as a uniformly distributed winding. So, the rotor winding is considered as current sheets that are fixed in space due to the action of the commutator and which establish a magnetic axis positioned orthogonal to the magnetic axis of the field winding. This configuration looks as follow:

Figure 5. Idealized DC Machine with uniformly distributed rotor winding [1]

Another look for the DC Machine is presented in Figure 6:

Figure 6. Basic parts of the DC Machine [2]

We can now approximate the equivalent circuit for the idealized DC Machine as:

Figure 7. Equivalent circuit for an Idealized DC Machine [1]

From here, we can derive the field and armature voltages which in matrix form look like this:

Equations 5

LFF and LAA self-inductances of the field and armature windings respectively; p is a notation for d/dt; Wr is the rotor speed and LAF the mutual inductance between the field and the armature. The product Wr.LAF.If is called back emf (electromotriz force) Vem. In this last equation IAF.If is frequently substituted by a constant called Kv:

Equations 6

This substitution is far convenient since even in the case of a permanent-magnet dc machine which has not field circuit, the constant field flux produced by the permanent magnet is analogous to a dc machine with a constant Kv.

We obtain through this important expression for describing the dynamic of DC Motor:


Equations 7

The above equation dictates that the voltage across the idealized power transducer is proportional to the angular velocity.

For a DC Machine with a field winding, the electromagnetic torque can be expressed as:

Equations 8

Here again we can substitute LAF.If by the constant Kv. So,


Equations 9

The electromagnetic torque Te and the rotor speed are related by:

Equations 10

J is the moment of inertia of the rotor and TL the load torque, positive for the shaft of the rotor. Te acts to turn the rotor in the direction of increasing θr. The constant Bm is a damping coefficient associated with the mechanical rotational system of the machine.

DC Motors in Control System

The variables and parameters that matter in most of the control system designs are resumed in the following table:

Figure 8. Variables and Parameters for a DC Machine [3]

The mode commonly used to represent dc motors in control system literature is as follow:

Figure 9. Model for a DC Machine [3]

A variant is presented in Figure 10:

Figure 10. Model for a DC Machine [4]

With Figure 9 as a reference, the cause and effect equations for the DC Motor are:

Equations 11

According to Equations 11, a Block Diagram for a DC motor should be like this:

Figure 11. Model for a DC Machine [3]

Basic Types of DC Machines.

  1. Separate Winding Excitation (Figure 7)
  2. Shunt-Connected dc Machine

Figure 12. Shunt-Connected DC Machine [1]

  1. Series-Connected dc Machine

Figure 13. Series-Connected DC Machine [1]

  1. Compound-Connected dc Machine

Figure 14. Compound-Connected DC Machine [1]

Figure 15. Other notations for DC Machine Types [2]

Transfer Function of a DC Motor.

Consider the model presented in Figure 10:

                                          Figure 10. Model for a DC Machine [4]

Let’s determine the Transfer Function of the DC Motor from Figure 10. Since the current-carrying armature is rotating in a magnetic field, its voltage is proportional to its speed. That is the back electromotive force as it was established in equation 7:

Equations 12

Taking the Laplace Transform we get:

Equations 13

The torque developed by the motor is proportional to the armature current, as it was said in Equations 9:

Equations 14

Transforming every impedances of Figure 10 into their Laplace Transform equivalent , we find the voltage equation for the loop around the armature circuit:

Equations 15

Now, we substitute Equations 13 y 14 en 15:

Equations 16

We need Tm in terms of in order to find . That can be get using the equivalent model for mechanical loading on a motor as shown in Figure 11:

                        Figure 11. Typical equivalent mechanical loading for a DC Machine [4]

Where Jm and Dm are mechanical constant which can be derived from a typical configuration such as:

                        Figure 12. A DC Motor driving a rotational mechanical load [4]

Considering Figure 12, Jm and Dm are:

Equations 17

Now, from Figure 11 we can find the relationship between Tm and :

Equations 18

Substituting Equations 18 in 16 we get:

Equations 19

In the most cases La is too small compared with Ra, so Equations 19 can be simplified and rearrange as:

Equations 20

Now from Equations 20 we obtain the Transfer Function for a DC Motor as follow:

Equations 21

The electrical constants of the motor Kt y Kb can be found with the following relations:

Equations 22

Where Tstall, Ea y Wno-load, use to be derive from a Graphic Speed Vs Torque such as:

        Figure 13. Torque-speed curves with an armature voltage Ea as a parameter [4]

As an example, consider the case of Figure 14:

                   Figure 14. Torque-speed curves and system example [4]


And using the gear ratio N1/N2=1/10:


[1] Analysis of Electric Machinery and Drive Systems

[2] Dynamic simulation of Electric Machinery using MATLAB

[3] Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo

[4] Control Systems Engineering, Norman Nise

Literature review by::

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Máquinas Eléctricas, Power Distribution

Definición de Máquina Sincrónica – Ingeniería Eléctrica


Se denominan máquinas de corriente alterna o CA a los generadores que transforman energía mecánica en energía eléctrica de CA y a los motores que convierten energía eléctrica de CA en energía mecánica. Existen dos tipos de máquinas de CA: las máquinas sincrónicas y las máquinas de inducción, también conocidas como máquinas asincrónicas [1]. Las máquinas eléctricas rotativas convencionales presentan las siguientes características comunes [2]:

  • Poseen un eje mecánico por medio del cual se realiza el intercambio de energía;
  • Tienen una pieza estática o inmóvil denominada estator;
  • Tienen una pieza móvil llamada rotor, en el caso de las máquinas cilíndricas;
  • Por lo general, tienen forma cilíndrica.

La Figura 1 permite visualizar la configuración cilíndrica general de una máquina de CA, vista frontal:

Figura 1: Configuración cilíndrica de los conductores de una Máquina de CA [2].

En las máquinas sincrónicas, la corriente del campo magnético es suministrada por una fuente de potencia CA externa, mientras que en el caso de la máquina de inducción la corriente de campo magnético se suministra a sus devanados de campo por medio de inducción magnética [1]. La bobina del rotor de la máquina sincrónica se excita mediante la inyección de una corriente continua, mientras que por las bobinas del estator circula una corriente alterna. Son estas corrientes alternas las que producen un campo magnético rotatorio que gira en el entrehierro de la máquina con la misma frecuencia angular de las corrientes de armadura [2].

La Figura 2 muestra las partes de una máquina sincrónica real, con rotor de polos salientes, construida en una central de generación eléctrica:

Figura 2: Estator y Rotor de Polos Salientes de una Máquina Sincrónica [2].

La rapidez de una máquina sincrónica bajo condiciones de estado estacionario, es proporcional a la frecuencia de la corriente que circula en su inducido o armadura. El rotor gira a la misma velocidad que el campo magnético de rotación que produce la corriente del inducido, de allí el término de máquina sincrónica, obteniéndose como consecuencia un par estacionario [3]. Las máquinas sincrónicas son comúnmente utilizadas como generadores en grandes sistemas de potencia tales como turbinas o centrales hidroeléctricas. Por su parte, debido a que la velocidad del rotor es proporcional a la frecuencia de excitación, los motores sincrónicos son utilizados en aplicaciones donde un variador de velocidad constante sea requerido [4]. Los objetivos al modelar una máquina sincrónica pueden dividirse en dos grandes grupos: para lograr una mayor comprensión del complejo comportamiento electro-magnético de la máquina; para la simulación o análisis de sistemas de control.

Haciendo uso de los métodos de elementos finitos o FEMs (Finite Element Methods) es posible obtener una descripción electromagnética bastante precisa de la máquina sincrónica. Sin embargo, dichos métodos presentan los siguientes inconvenientes: el tiempo de cálculo durante la simulación y el gran número de parámetros de la máquina eléctrica. Es por ello que los métodos FEM son más útiles durante la etapa de diseño [4].

Las máquinas sincrónicas vienen en muchos tamaños y formas, desde motores sincrónicos miniaturas de imán permanente hasta las más grandes turbinas que trabajan con vapor para generar electricidad, con capacidad de hasta 1500 MVA. Sin embargo, las máquinas sincrónicas pueden ser de dos tipos [5]: de campo magnético estacionario; de campo magnético rotatorio.

El rotor de la máquina sincrónica puede ser cilíndrico, como se representa en la Figura 3a, o puede tener caras polares proyectadas hacia afuera de su superficie, como se diagrama en la Figura 3.b:

  1. b)

Figura 3: a) Máquina sincrónica de rotor cilíndrico o de polos no salientes; b) Máquina sincrónica con rotor de polos salientes [1].


La máquina sincrónica utilizada como generador de CA e impulsada por una turbina para transformar energía mecánica en energía eléctrica, es la principal fuente de generación de potencia eléctrica en el mundo [6].

Los generadores sincrónicos usualmente trabajan juntos o en paralelo, formando parte de sistemas de potencia de grandes dimensiones físicas, como el que se muestra en la Figura 4, los cuales proveen de energía a las industrias, las áreas comerciales y residenciales de las grandes ciudades [7]. Para este tipo de aplicaciones, los generadores sincrónicos son construidos de gran tamaño, con rangos de potencia que van desde decenas hasta cientos de megawatts. Para máquinas de alta velocidad los principales impulsores son turbinas que emplean recursos fósiles o energía nuclear. Las máquinas de baja velocidad por lo general utilizan la energía hidráulica o eólica, la cual mueve enormes turbinas. Los generadores sincrónicos más pequeños son utilizados generalmente para atender sectores privados y sus principales propulsores son los motores diésel o las turbinas de gas.

Figura 4: Aplicaciones de las máquinas sincrónicas. Generación Eléctrica [8]

Por su parte, los motores sincrónicos son fabricados para atender necesidades específicas, según cada aplicación [9]. De acuerdo con sus características constructivas, alto rendimiento operativo y su adaptabilidad a múltiples ambientes de trabajo, los motores sincrónicos son utilizados en prácticamente todos los sectores industriales, entre los que resaltan:

  • Minería: chancadoras, molinos, cintas transportadoras;
  • Siderurgia: laminadoras, ventiladores, bombas y compresores;
  • Papel y celulosa: extrusoras, picadoras, desfibradoras, refinadoras;
  • Saneamiento: bombas;
  • Química y petroquímica: compresores, ventiladores, extractores, bombas;
  • Cemento: chancadoras, molinos, cintas transportadoras;
  • Goma: extrusoras, molinos, mezcladoras;
  • Transmisión de energía: compresores sincrónicos.

Las principales ventajas en el uso de los motores sincrónicos se resumen a continuación [9]:

    • Corrección del factor de potencia: los motores sincrónicos permiten corregir el factor de potencia en la red eléctrica donde se instalan, ofreciendo de esta manera mejor rendimiento y reduciendo los costos de energía;
    • Velocidad constante: tanto en situaciones de sobrecarga como en aquellas donde ocurren oscilaciones de tensión, respetando los límites del conjugado máximo (pull-out);
    • Alta capacidad de torque: proyectado con alta capacidad de carga, cuyas variaciones no menoscaben su capacidad para mantener la velocidad constante;
    • Mayor estabilidad cuando se utiliza junto con convertidores de frecuencia: puede operar en un amplio rango de velocidad a pesar de las variaciones en la carga.
    • Alto rendimiento: mayor eficiencia en la conversión de energía eléctrica en mecánica. El motor sincrónico es proyectado para operar con alto rendimiento, con mayor provecho de energía para gran variedad de carga. PAGE_BREAK: PageBreak

En la máquina de rotor cilíndrico de la Figura 3.a la reluctancia del entrehierro es mucho más alta que las reluctancias en el rotor y en el estator. En consecuencia, el vector de densidad de flujo EQUATION: Equation toma el camino más corto a través del entrehierro, por lo que salta perpendicularmente entre el rotor y el estator [1]. Esta densidad de flujo debe variar sinusoidalmente para permitir a la máquina producir un voltaje sinusoidal. A su vez, para que EQUATION: Equation presente una forma sinusoidal, también debe variar sinusoidalmente la intensidad de magnetización EQUATION: Equation a lo largo de la superficie del entrehierro, tal como se muestra en la Figura 5:

Figura 5: a) Rotor cilíndrico son densidad de flujo del entrehierro variando sinusoidalmente; b) Intensidad del campo magnético en función del ángulo EQUATION: Equation del entrehierro; c) Densidad del flujo magnético en función del ángulo EQUATION: Equation del entrehierro [1].

Los rotores cilíndricos se utilizan en máquinas de dos o cuatro polos y muy rara vez en máquinas de seis polos. Por lo general son impulsados por vapor o turbinas de combustión [5].

Durante la construcción de una máquina sincrónica de rotor cilíndrico, tanto los devanados del rotor como del estator son instalados en ranuras y distribuidos alrededor de la periferia de la máquina [5]. La Figura 6 ofrece una corte transversal de una máquina sincrónica de rotor cilíndrico, además de la corriente producida por un par de conductores en comparación con la corriente EQUATION: Equation producida por devanados distribuidos (Stator and Rotor Winding). Se muestra además la ecuación de la fuerza magnetomotriz resultante en función de la corriente producida y el ángulo EQUATION: Equation:

Figura 6: Sección transversal de una máquina sincrónica de rotor cilíndrico. Fuerza magnetomotriz generada por la corriente producida en los devanados distribuidos en el estator y el rotor [5]. PAGE_BREAK: PageBreak


La onda de la fuerza magnetomotriz de una máquina con entrehierro uniforme, produce un flujo de magnetización que se comporta de manera independiente a la alineación espacial del dicha onda con respecto a los polos del campo. La máquina de polos salientes permite determinar la dirección de magnetización según se prefiera, gracias a que se hace sobresalir los polos del campo. La penetración a lo largo del eje polar es mayor que a lo largo del eje interpolar. A la primera se le llama eje directo del rotor, mientras a la segunda se le llama eje de cuadratura del rotor [3].

Una máquina sincrónica trifásica de un par de polos salientes, con sus devanados de campo y de armadura, se ilustra en la Figura 7, donde además se representan el eje directo y el eje de cuadratura:

Figura 7: Máquina sincrónica de polos salientes [10].

Por definición, el devanado de campo produce un flujo que se orienta a lo largo del eje directo del rotor. Por ello, en un diagrama fasorial la fuerza electromotriz del devanado de campo y su flujo magnético correspondiente EQUATION: Equation se encuentran a lo largo del eje directo del rotor, como se muestra en la Figura 8:

Figura 8: Flujo del entrehierro del eje directo en una máquina sincrónica de polos salientes [3].

En la Figura 8 se observa además el voltaje interno generado EQUATION: Equation, desfasado 90º del flujo EQUATION: Equation, así como la onda de flujo de reacción del inducido EQUATION: Equation. Debido a que el eje de cuadratura también se encuentra a 90º del eje directo, el fasor de voltaje generado EQUATION: Equation recae sobre el eje de cuadratura. Este hecho es clave en el análisis de las máquinas sincrónicas de polos salientes, ya que al ser localizado el voltaje generado EQUATION: Equation localizan de manera automática el eje directo y el eje de cuadratura [3]. Del lado derecho de la Figura 8, se observan las ondas de la densidad de flujo ubicadas en la superficie del inducido, produciendo la corriente de campo y el componente fundamental espacial de rotación síncrono de la fuerza magnetomotriz de reacción del inducido.

Por su parte, la Figura 9 muestra el flujo del entrehierro del eje de cuadratura. Ya que el entrehierro presenta mayor longitud entre los polos y la mayor reluctancia, el flujo de reacción del inducido fundamental espacial al estar a lo largo del eje de cuadratura es menor que el flujo de reacción al estar a lo largo del eje directo.

Figura 9: Flujo del entrehierro de los ejes de cuadratura en una máquina sincrónica de polos salientes [3].

Por tanto, la reactancia de magnetización del eje de cuadratura es menor que la que presenta el eje directo.

Valiéndose de las corrientes y voltajes definidos en las Figuras 8 y 9, es posible ahora realizar el diagrama fasorial para la máquina sincrónica de polos salientes, el cual se presenta en la Figura 10:

Figura 10: Diagrama fasorial de un generador de polos salientes [3].

En la Figura 10 se puede observar que la corriente EQUATION: Equation es la corriente del inducido, mientras que las corrientes EQUATION: Equation e EQUATION: Equation son las corrientes asociadas al eje directo y al eje de cuadratura respectivamente. El componente EQUATION: Equation del eje directo produce un componente del flujo de reacción del inducido fundamental espacial EQUATION: Equation a lo largo del eje directo, mientras que el componente EQUATION: Equation produce un componente del flujo de reacción del inducido fundamental espacial EQUATION: Equation a lo largo del eje de cuadratura [3].


Debido a que en un circuito trifásico todas las corrientes y los voltajes son simétricos, los ingenieros trabajan con la representación de una sola línea. Las características básicas de funcionamiento de una máquina sincrónica pueden ser obtenidas mediante el circuito equivalente en estado estable mostrado en la Figura 11:

Figura 11: Circuito equivalente en estado estable de una máquina sincrónica [5].

En la Figura 11, EQUATION: Equation es la reactancia de fuga, mientras que EQUATION: Equation es la reactancia de reacción de armadura, EQUATION: Equation es la resistencia de armadura y EQUATION: Equation es la impedancia de toda la máquina sincrónica. EQUATION: Equation es el voltaje de magnetización.

La Figura 12 muestra el circuito equivalente completo de un generador sincrónico trifásico. En dicha figura, una fuente de potencia de cd suministra potencia al circuito de campo del rotor, el cual se modela por medio de la inductancia y la resistencia en serie de la bobina. Una resistencia ajustable EQUATION: Equation controla e flujo de corriente de campo [1].

Figura 12: Circuito equivalente completo de un generador sincrónico trifásico [1].

El lado derecho de la Figura 12 muestra los modelos de cada fase, cada una de las cuales tienen un voltaje interno generado con su respectiva inductancia en serie EQUATION: Equation y una resistencia es serie EQUATION: Equation. Las corrientes y voltajes de cada rama están desfasadas 90º.



Para realizar el estudio de la máquina sincrónica y conocer su comportamiento bajo diversas condiciones de operación, es necesario contar con el modelo matemático de la misma el cual se desarrolla en función de sus parámetros tales como las reactancias del eje directo y del eje de cuadratura en el caso de la máquina de polos salientes, la constante de inercia, el factor de amortiguamiento [11].

Cuando estos parámetros son desconocidos se debe recurrir a metodologías reconocidas por estar avaladas por institutos que poseen gran reconocimiento en la comunidad científica, tal como las normas estándar 115 IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers) para la determinación de los parámetros de las máquinas sincrónicas.

Estos métodos, como la prueba al vacío, la prueba de factor de potencia cero, el ensayo de respuesta en frecuencia, se realizan bajo condiciones de operación estática, por lo que sus resultados son relativos ya que pueden cambiar cuando suceden cambios en el punto de operación de la máquina cuando está en servicio. Otra desventaja de la mayoría de estos métodos es que para su aplicación, evidentemente se debe interrumpir el servicio que presta la máquina.

La Guía de la IEEE consta de instrucciones para dirigir las pruebas más generales y prácticas para determinar las características de desempeño de las máquinas sincrónicas [12].


La Figura 13 muestra un generador sincrónico de dos polos operando sin carga, impulsado por velocidad constante [13]. Los conductores del estator trifásico se conectan a los terminales A, B, C y N, mientras que una corriente de excitación variable EQUATION: Equation produce el flujo en el entrehierro:

Figura 13: Generador sincrónico de dos polos operando sin carga [13].

Se incrementa gradualmente la corriente de excitación mientras se observa el voltaje de CA entre una de las terminales, por ejemplo la terminal A, y el neutro. Se puede observar que para bajos valores de la corriente de excitación EQUATION: Equation dicho voltaje se incrementa en proporción directa con la corriente.

Sin embargo, para valores mayores de EQUATION: Equation, el voltaje se eleva con menor pendiente porque el entrehierro comienza a saturarse. De esta manera se obtiene la curva de saturación sin carga del generador sincrónico, que se ilustra en la Figura 14:

Figura 14: Curva de saturación sin carga para generador trifásico de 36 MVA, 21 KV [13].PAGE_BREAK: PageBreakLa prueba de saturación en vacío presenta algunas ventajas entre las cuales se encuentran [12]:

  • Facilidad de implementación;
  • No ocasiona daños al sistema debido a una energización inicial segura para el generador.


Para esta prueba se iguala a cero la corriente de campo y se hace cortocircuito en las terminales del generador por medio de un conjunto de amperímetros [1]. La Figura 15 muestra el circuito equivalente de un generador sincrónico durante la prueba del cortocircuito:

Figura 15: Circuito equivalente de un generador sincrónico durante la prueba del cortocircuito [1].

Se procede a medir la corriente en el inducido EQUATION: Equation o la corriente de línea EQUATION: Equation mientras se incrementa la corriente de campo. La Figura 16 muestra la forma de la curva (una recta) obtenida para esta prueba.

Figura 16: Característica de cortocircuito de un generador sincrónico [1].

Con los ensayos de saturación en vacío y la prueba de cortocircuito es posible obtener la reactancia sincrónica saturada de eje directo EQUATION: Equation y la reactancia sincrónica no saturada de eje directo EQUATION: Equation mediante las siguientes ecuaciones [11].

Para la reactancia sincrónica saturada de eje directo EQUATION: Equation se toma el voltaje nominal EQUATION: Equation de armadura de la curva característica de vacío para una corriente de campo EQUATION: Equation y la corriente de armadura EQUATION: Equation de la curva característica de cortocircuito para la misma corriente de campo EQUATION: Equation, según se procede en la Figura 17:

Figura 17: Curva característica de vacío y cortocircuito [11].

La reactancia sincrónica saturada de eje directo EQUATION: Equation se determina mediante la siguiente ecuación:

EQUATION: Equation (1)

EQUATION: EquationVoltaje nominal de armadura de la curva característica de vacío

EQUATION: EquationCorriente de armadura de la curva característica de cortocircuito

Por su parte, para la reactancia sincrónica no saturada de eje directo EQUATION: Equation se parte de la característica de saturación en el vacío y de la característica en cortocircuito, tomando el valor de la corriente de campo EQUATION: Equation correspondiente a la corriente nominal de armadura EQUATION: Equation de la curva de cortocircuito y la corriente de campo EQUATION: Equation correspondiente al voltaje nominal EQUATION: Equation de la curva de vacío.

De esta manera EQUATION: Equation se obtiene mediante la siguiente fórmula:

EQUATION: Equation (2)

EQUATION: EquationCorriente de campo correspondiente al voltaje nominal EQUATION: Equation de la curva de vacío

EQUATION: EquationCorriente de campo correspondiente a la corriente nominal de armadura EQUATION: Equation de la curva de cortocircuito.


Operando la máquina como generador, se alimenta una carga inductiva variable a corriente de armadura nominal EQUATION: Equation a una velocidad sincrónica de giro EQUATION: Equation [11]. La Figura 18 ilustra la conexión apropiada para la realización de esta prueba:

Figura 18: Conexión para el ensayo de factor de potencia cero [11].

Se cortocircuitan los terminales de estator, para luego reemplazar el cortocircuito de los terminales de estator por una carga inductiva variable para conservar una diferencia de 90º de fase entre la corriente EQUATION: Equation y el voltaje EQUATION: Equation. Finalmente se realiza la medición de EQUATION: Equation variando el reóstato y manteniendo el valor de EQUATION: Equation.

Se obtiene entonces la curva característica de la prueba de factor de potencia cero para un generador sincrónico, tal como se muestra en la Figura 19:

Figura 19: Curva de factor de potencia cero para un generador sincrónico [11].

Se utiliza la curva de vacío, la curva de cortocircuito y la curva de factor de potencia cero para determinar la reactancia de Potier, procedimiento que hace uso de la interposición mostrada en la Figura 20:

Figura 20: Curvas de vacío, cortocircuito y factor de potencia [11].

El triángulo de Potier se corresponde con los puntos b-c-d de la Figura 20. Luego, mediante el cálculo de la distancia vertical entre los puntos b y c, tomando en cuenta la corriente de armadura nominal EQUATION: Equation, se obtiene la reactancia de Potier EQUATION: Equationde acuerdo con la siguiente ecuación:

EQUATION: Equation (3)

EQUATION: Equation Distancia vertical entre los puntos b y c;

EQUATION: Equation Corriente de armadura nominal


El comportamiento de un generador sincrónico depende en gran parte del tipo de carga que se incorpora al circuito de alimentación [13]. A pesar de su gran variedad, todas las cargas se pueden agrupar en dos tipos de categorías:

  • Cargas aisladas alimentadas por un solo generador;
  • El bus infinito o barra conductora infinita.

Si se considera el primer caso, cargas aisladas, esta prueba representa una alternativa para determinar la reactancia del eje en cuadratura EQUATION: Equation de la máquina sincrónica.

Las variables necesarias de medir son las siguientes: corriente de armadura EQUATION: Equation, voltaje de armadura EQUATION: Equation, ángulo de factor de potencia EQUATION: Equation y ángulo de par EQUATION: Equation.

Luego, para hallar la reactancia del eje en cuadratura EQUATION: Equation se aplica la siguiente fórmula:

EQUATION: Equation (4)


Los datos que se obtienen del ensayo de respuesta en frecuencia describen la respuesta de flujo de la máquina sincrónica a la corriente de estator y cambios en los voltajes de campo tanto en el eje directo como en el eje de cuadratura [14]. Actualmente las máquinas sincrónicas son modeladas haciendo uso de circuitos equivalentes que se basan es estos dos ejes.

Entre las ventajas de este método están las siguientes:

  • Se puede aplicar in situ, mientras la máquina está operando en la fábrica;
  • La máquina estudiada corre poco riesgo;
  • Ofrece datos sobre la actividad tanto del eje directo como del eje de cuadratura.

El análisis de la respuesta en frecuencia de la máquina sincrónica ofrece datos sobre la impedancia operacional del eje directo EQUATION: Equation y del eje de cuadratura EQUATION: Equation, así como la función de transferencia de la máquina, mediante la descripción de las relaciones entre los voltajes y corrientes en función de la frecuencia. También se determinan las constantes de tiempo transitoria y sub transitoria de la máquina.

El procedimiento, tal como es descrito en la Guía 115 IEEE, se muestra en la Figura 21, donde el rotor es colocado para posicionar el rotor con el eje directo. Lo mismo se realiza luego con el eje de cuadratura.

Figura 21: Configuración para el ensayo de respuesta en frecuencia para el eje directo de la máquina sincrónica, de acuerdo al IEEE standard 115 A [14].

Se miden el voltaje y la corriente de armadura (EQUATION: Equation), el voltaje y la corriente de campo (EQUATION: Equation), de eje directo (EQUATION: Equation) y de eje de cuadratura (EQUATION: Equation). La magnitud de las impedancias operacionales EQUATION: Equation y EQUATION: Equation se miden para un rango determinado de frecuencias, aplicando las siguientes fórmulas:

EQUATION: Equation EQUATION: Equation (5)

EQUATION: Equation (6)

Mientras que la ganancia de voltaje EQUATION: Equation se evalúa mediante:

EQUATION: Equation EQUATION: Equation (7)

La Figura 22 muestra el resultado de analizar EQUATION: Equation mediante simulación computarizada, para un rango de frecuencia de operación de la máquina que va desde mili Hertz a kilo Hertz:

Figura 22: Determinación de magnitud y fase de la impedancia operacional del eje directo EQUATION: Equation mediante ensayo de respuesta en frecuencia [14]


Es bien conocido que un modelo matemático para las máquinas sincrónicas puede estar compuesto por ecuaciones diferenciales de primer, segundo, tercer y hasta séptimo orden. Evidentemente, las representaciones con ecuaciones de séptimo orden son las más complejas, pero describen el comportamiento de las máquinas sincrónicas de una manera más exacta [15]. Para facilitar el análisis de las máquinas sincrónicas mediante simulación computarizada, Matlab ofrece una librería en su sección SimPowerSistems, que ofrece distintos modelos de máquinas no sólo sincrónicas sino asincrónicas, motores DC y transformadores. La librería de SimPowerSistems permite modelar máquinas sincrónicas de polos salientes o de rotor cilíndrico, cuyo bloque general está ilustrado en la Figura 23:

Figura 23: Bloque fundamental de una máquina sincrónica en Matlab/Simulink [16].

El bloque de la Figura 22 puede operar como generador o como motor. El modelo está basado en una representación matemática de ecuaciones de estado de sexto orden, que incluye un sistema mecánico y un sistema eléctrico. Mediante el diagrama de bloques de la Figura 24 se ilustra la parte mecánica:

Figura 24: Diagrama de bloques del sistema mecánico de una máquina sincrónica en Matlab/Simulink [16].

EQUATION: Equation Variación de velocidad angular respecto a la velocidad de operación;

EQUATION: Equation Constante de inercia;

EQUATION: Equation Torque mecánico;

EQUATION: Equation Torque electromecánico;

EQUATION: Equation Factor de amortiguamiento;

EQUATION: Equation Velocidad mecánica el rotor en función del tiempo

EQUATION: Equation Velocidad de operación.

Mientras, el sistema eléctrico implícito en modelo de la Figura 23 es señalado en la Figura 25, e inmediatamente se especifican los parámetros solicitados por el modelo:

Figura 25: Diagrama del sistema eléctrico de máquina sincrónica en Matlab/Simulink [16].

Los parámetros de estator solicitados por el modelo son:

EQUATION: Equation Resistencia de estator por fase;

EQUATION: Equation Inductancia de estator;

EQUATION: Equation Inductancia de magnetización del eje directo vista desde el estator;

EQUATION: Equation Inductancia de magnetización del eje de cuadratura vista desde el estator.

Los parámetros de campo solicitados por el modelo son:

EQUATION: Equation Resistencia de campo;

EQUATION: Equation Inductancia de campo.

Otros parámetros solicitados son:

EQUATION: Equation Potencia nominal;

EQUATION: Equation Voltaje nominal;

EQUATION: Equation Frecuencia nominal;

EQUATION: Equation Corriente de campo nominal.

Los parámetros pueden ser configurados en la caja de diálogo (Dialog Box) cuyo ejemplo se ofrece en la Figura 26 con unidades del Sistema Internacional (SI), provisto por el sistema cuando se está diseñando en Simulink:

Figura 26: Ventana de diálogo para configurar los parámetros de la máquina sincrónica en Matlab/Simulink [16]



Para ilustrar el método de estimación de parámetros en Matlab/Simulink para una máquina sincrónica, se presenta el ejemplo de la Figura 27:

Figura 27: Ejemplo de máquina sincrónica. Modelo de acelerador de motor [16].

En la Figura 27 se puede observar un acelerador que cumple con la función de controlar el flujo de masa de aire en el colector de admisión de un motor. El cuerpo del acelerador está provisto de una válvula mariposa que se abre cuando la persona que conduce el auto, pisa el pedal del acelerador. Esto permite la entrada de más aire a los cilindros del motor, y por tanto, el motor mismo produce más par. Un motor de corriente controla el ángulo de apertura de la válvula mariposa. También se instala un resorte unido a la válvula para devolverla a su posición inicial cuando se desactiva el motor que controla el ángulo de apertura de la válvula. La rotación de la válvula está limitada a aproximadamente 90 grados. Por lo tanto, si una entrada de mando grande se aplica al motor, la válvula golpea unos topes duros que impiden que gire más.

El motor se modela como una ganancia de par y una entrada de retardo de tiempo con los parámetros de EQUATION: Equation (ganancia de torque) y EQUATION: Equation (entrada de retardo de tiempo de respuesta del motor). La válvula de mariposa es modelada como un sistema masa-resorte-amortiguador con los parámetros EQUATION: Equation (constante de inercia de la válvula mariposa), EQUATION: Equation (coeficiente de amortiguamiento) y EQUATION: Equation (constante del resorte). Los valores de los parámetros del sistema no se conocen con precisión.

Para realizar una estimación de los parámetros de la simulación a partir de datos medidos y cargados previamente, se hace doble clic en el cuadro anaranjado de la Figura 27 titulado “Parameter Esimation GUI with Preloaded Data”. Esta aplicación ejecuta tres experimentos:

  • “EstimationData”, para la estimación de los parámetros;
  • “ValidationData1 y ValidationData2”, para validar los datos estimados.

El programa ofrece la ventana de diálogo que se ilustra en la Figura 28:

Figura 28: Ventana de diálogo para la aplicación Estimación de Parámetros [16].

La simulación representada en la Figura 28 muestra que el modelo (línea roja) no coincide con los datos medidos (línea azul) y que debe realizarse una estimación de los parámetros. Para ello, en el menú de la aplicación se hace clic sobre el ícono “Select Parameters”, el cual conduce a la ventana de diálogo de la Figura 29. En esta ventana se seleccionan los parámetros a ser estimados, los cuáles son EQUATION: Equation,EQUATION: Equation, EQUATION: Equation y EQUATION: Equation según el ejemplo:

Figura 29: Ventana de diálogo para selección de parámetros a ser estimados [16]. .

Con los parámetros seleccionados en el proceso anterior, se procede a seleccionar el tipo de experimento, en este caso, la estimación de los parámetros seleccionados, tal como se muestra en la Figura 30:

Figura 30: Ventana de diálogo para seleccionar el experimento [16].

Mientras que la estimación progresa, se abre una nueva ventana de diálogo. El proceso finaliza con una estimación que se aproxima bastante a los datos medidos, tal como se muestra en la Figura 31:

Figura 31: Ventana de diálogo para Estimación de Parámetros. El modelo coincide con los datos medidos [16].

Al observar que ahora el modelo coincide con los datos medidos, se verifica que los valores de los parámetros son los adecuados para la simulación. Estos valores obtenidos para el ejemplo en estudio son presentados en la Figura 32:

Figura 32: Ventana de diálogo para Estimación de Parámetros. El modelo coincide con los datos medidos [16].


Existen varios métodos que pueden ser utilizados para acelerar y optimizar el proceso de estimación de los parámetros. Entre ellos se encuentra el método de Mínimos Cuadrados No Lineales, que se usa particularmente cuando el modelo contiene muchos parámetros por estimar. Para seleccionar este método, se utiliza nuevamente el ejemplo de la Figura 27. Dando clic al cuadro anaranjado, se accede a la ventana de herramientas de estimación “Control and Estimation Tools Manager”, y de allí a la ventana “Estimation Options”, tal como se muestra en la Figura 33:

Figura 33: Ventana de “Estimation Options” en Matlab/Simulink [16].

Haciendo clic en “Optimization Options”, se accede a la ventana de la Figura 34:

Figura 34: Ventana de “Optimization Options” en Matlab/Simulink [16]

Se puede observar el ícono donde se puede seleccionar el método de Mínimos Cuadrados No Lineales.

Existen al menos cinco algoritmos de mínimos cuadrados, que se enlistan a continuación:

  • Trust-region-reflective;
  • Levenberg-Marquardt;
  • Lsqlin active-set;
  • Lsqlin interior-point;
  • Lsqnonneg.

El método de minimización (Constrained Minimization) consiste en resolver el problema de encontrar un vector EQUATION: Equation que es un mínimo local para una función escalar EQUATION: Equation, sujeto a la siguiente restricción:

EQUATION: Equation (8)

Tal que una o algunas de las siguientes relaciones se mantengan:

EQUATION: Equation (9)

EQUATION: Equation

EQUATION: Equation

EQUATION: Equation

EQUATION: Equation



[1] S. Chapman, Máquinas Eléctricas – 5ta. Edición, México: McGraw Hill, 2012.
[2] J. Aller, «Máquinas Eléctricas Rotativas: Inducción a la Teoría General.,» Equinoccio. Universidad Simón Bolívar, Caracas, 2008.
[3] A. Fitzgerald y C. Kingsley, Máquinas Eléctricas – 6ta. Edición, México: MaGraw Hill, 2004.
[4] A. Barakat, S. Tnani, G. Champenois y E. Mouni, «Analysis of Synchornous Machine modeling for simultation and industrial applications.,» Universidad de Poitiers, Poitiers, 2010.
[5] G. Klempner y I. Kerszenbaum, Principles of Operation of Synchronous Machines, in Handbook of Large Turbo-Generator Operation and Maintenance, Hoboken: John Wiley & Sons, 2008.
[6] J. Grainger y W. Stevenson, Análisis de Sistemas de Potencia, México: MaGraw Hill, 1996.
[7] T.-F. Chan, «Synchronous Machine,» Electrical Engineering, vol. 3, 2007.
[8] ABB, «Synchrounous Motors. High Performance in all applications.,» ABB – Motors&Generators, 2011.
[9] WEG, «Motores Sincrónicos,» Grupo WEG – Unidad Energía, Jaraguá do Sul, 2015.
[10] Wikispaces, «Wikispace,» 2012. [En línea]. Available: https://referencias111.wikispaces.com/file/view/Capitulo3.pdf.
[11] A. Perez y Y. Romero, «Medición indirecta de algunos parámetros de la máquina sincrónica a partir de la medida del ángulo del par.,» Universidad Tecnológica de Pereira, Pereira, 2007.
[12] IEEE, «IEEE Guide: Test Procedures for Synchronous Machines. (IEEE Std 115),» New York, 2009.
[13] T. Wildi, Máquinas Eléctricas y Sistemas de Potencia – 6ta. Edición, México: Pearson Educación, 2007.
[14] M. Hasni, O. Touhami, R. Ibtiouen, M. Fadel y S. Caux, «Synchronous Machine Parameter Estimation by StandStill Frequency Response Tests.,» Journal of ELECTRICAL ENGINEERING, vol. 59, nº 2, p. pp. 75–80, 2008.
[15] Z. Spoljaric, K. Miklosevic y V. Jerkovic, «Synchronous Generator Modeling Using Matlab.,» University de Osijek, Osijek, 2012.
[16] MATLAB, «MATLAB,» 2016. [En línea]. Available: https://www.mathworks.com.

Escrito por: Larry Francis Obando – TSU

Escuela de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Central de Venezuela, Caracas.

Escuela de Ingeniería Electrónica de la Universidad Simón Bolívar, Valle de Sartenejas.

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Use Case Diagram – Basics

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  1. Use Case Definition
  1. Fuente. Object-Oriented Software Engineer (Copia Textual – Literature Review).
    1. 2.3.1 Systems, Models, and Views
    2. 2.4.1 Use Case Diagrams. Use cases and actors


Definition of Systems, Models and Views

A system is an organized set of communicating parts. We focus here on engineered systems, which are designed for a specific purpose, as opposed to natural systems, such as a planetary system, whose ultimate purpose we may not know. A car, composed of four wheels, a chassis, a body, and an engine, is designed to transport people. A watch, composed of a battery, a circuit, wheels, and hands, is designed to measure time. A payroll system, composed of a mainframe computer, printers, disks, software, and the payroll staff, is designed to issue salary checks for employees of a company. Parts of a system can in turn be considered as simpler systems called subsystems. The engine of a car, composed of cylinders, pistons, an injection module, and many other parts, is a subsystem of the car. Similarly, the integrated circuit of a watch and the mainframe computer of the payroll system are subsystems. This subsystem decomposition can be recursively applied to subsystems. Objects represent the end of this recursion, when each piece is simple enough that we can fully comprehend it without further decomposition.

Many systems are made of numerous subsystems interconnected in complicated ways, often so complex that no single developer can manage its entirety. Modeling is a means for dealing with this complexity. Complex systems are generally described by more than one model, each focusing on a different aspect or level of accuracy. Modeling means constructing an abstraction of a system that focuses on interesting aspects and ignores irrelevant details… Modeling allows us to deal with complexity through a divide-and-conquer approach: For each type of problem we want to solve (e.g., testing aerodynamic properties, training pilots), we build a model that only focuses on the issues relevant to the problem… Modeling also helps us deal with complexity by enabling us to incrementally refine simple models into more detailed ones that are closer to reality. In software engineering, as in all engineering disciplines, the model usually precedes the system. During analysis, we first build a model of the environment and of the common functionality that the system must provide, at a level that is understandable by the client. Then we refine this model, adding more details about the forms that the system should display, the layout of the user interface, and the response of the system to exceptional cases. The set of all models built during development is called the system model. If we did not use models, but instead started coding the system right away, we would have to specify all the details of the user interface before the client could provide us with feedback. Thus we would lose much time and resources when the client then introduces changes.

Use Case Function

Use cases are used during requirements elicitation and analysis to represent the functionality of the system. Use cases focus on the behavior of the system from an external point of view. A use case describes a function provided by the system that yields a visible result for an actor. An actor describes any entity that interacts with the system (e.g., a user, another system, the system’s physical environment). The identification of actors and use cases results in the definition of the boundary of the system, that is, in differentiating the tasks accomplished by the system and the tasks accomplished by its environment. The actors are outside the boundary of the system, whereas the use cases are inside the boundary of the system.

Use cases and actors

Actors are external entities that interact with the system. Examples of actors include a user role (e.g., a system administrator, a bank customer, a bank teller) or another system (e.g., a central database, a fabrication line). Actors have unique names and descriptions. Use cases describe the behavior of the system as seen from an actor’s point of view. Behavior described by use cases is also called external behavior. A use case describes a function provided by the system as a set of events that yields a visible result for the actors. Actors initiate a use case to access system functionality. The use case can then initiate other use cases and gather more information from the actors. When actors and use cases exchange information, they are said to communicate. We will see later that we represent these exchanges with communication relationships.

For this example, in an Accident Management System, field officers (such as a police officer or a firefighter) have access to a wireless computer that enables them to interact with a dispatcher. The dispatcher in turn can visualize the current status of all its resources, such as police cars or trucks, on a computer screen and dispatch a resource by issuing commands from a workstation. In this example, field officer and dispatcher can be modeled as actors. Figure 2-13 depicts the actor FieldOfficer who invokes the use case ReportEmergency to notify the actor Dispatcher of a new emergency. As a response, the Dispatcher invokes the OpenIncident use case to create an incident report and initiate the incident handling. The Dispatcher enters preliminary information from the FieldOfficer in the incident database (FRIEND) and orders additional units to the scene with the AllocateResources use case. For the textual description of a use case, we use a template composed of six fields (see Figure 2-14) adapted from [Constantine & Lockwood, 2001]:

• The name of the use case is unique across the system so that developers can unambiguously refer to the use case.

• Participating actors are actors interacting with the use case.

• Entry conditions describe the conditions that need to be satisfied before the use case is initiated.

We organize the steps in the flow of events in two columns, the left column representing steps accomplished by the actor, the right column representing steps accomplished by the system. Each pair of actor–system steps represents an interaction.

Use cases are written in natural language. This enables developers to use them for communicating with the client and the users, who generally do not have an extensive knowledge of software engineering notations. The use of natural language also enables participants from other disciplines to understand the requirements of the system. The use of the natural language allows developers to capture things, in particular special requirements, that cannot easily be captured in diagrams.

Use case diagrams can include four types of relationships: communication, inclusion, extension, and inheritance. We describe these relationships in detail next. Communication relationships: Actors and use cases communicate when information is exchanged between them. Communication relationships are depicted by a solid line between the actor and use case symbol… Communication relationships between actors and use cases can be used to denote access to functionality. In the case of our example, a FieldOfficer and a Dispatcher are provided with different interfaces to the system and have access to different functionality. Include relationships: When describing a complex system, its use case model can become quite complex and can contain redundancy. We reduce the complexity of the model by identifying commonalities in different use cases. For example, assume that the Dispatcher can press at any time a key to access a street map. This can be modeled by a use case ViewMap that is included by the use cases OpenIncident and AllocateResources. Extend relationships: are an alternate means for reducing complexity in the use case model. A use case can extend another use case by adding events. An inheritance relationship is a third mechanism for reducing the complexity of a model. One use case can specialize another more general one by adding more detail.

Los libros de donde extraje imágenes, ecuaciones e información, que recomiendo para iniciar este estudio, son los siguientes:

Object Oriented Software Engineering, Bernd Bruegge & Allen H. Dutoit


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Análisis de sistemas de control, Física Aplicada, Sistemas Mecánicos

Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Elementos básicos de un sistema mecánico.

Los elementos básicos de todo sistema mecánico son la masa, el resorte y el amortiguador. El estudio del movimiento en sistemas mecánicos se corresponde con el análisis de sistemas dinámicos. En robótica, por ejemplo, la palabra Forward Dynamic se refiere a lo que le sucede a los actuadores cuando le aplicamos a los mismos ciertas fuerzas y torques.

La masa, el resorte, el amortiguador, son actuadores elementales de un sistema mecánico.

En consecuencia, para controlar el robot es necesario conocer muy bien la naturaleza del movimiento de un sistema masa-resorte-amortiguador.

Además, este sistema elemental se presenta en numerosos campos de aplicación, de allí la importancia de su análisis. De nuevo, en robótica, cuando se habla de Inverse Dynamic, se habla sobre el cómo hacer que el robot se mueva de una manera deseada, cuáles fuerzas y torques debemos aplicar sobre los actuadores para que nuestro robot se mueva de una manera particular.


Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras.

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. Da un vistazo al Índice al final de este artículo. 

Antes de realizar el Análisis Dinámico de nuestro sistema masa-resorte-amortiguador, debemos obtener su modelo matemático. Éste es el primer paso a ejecutar por toda persona que pretenda conocer a profundidad la dinámica de un sistema, especialmente el comportamiento de sus componentes mecánicos.

Iniciaremos nuestro estudio con el modelo de un sistema masa-resorte.

Esto es conveniente por el motivo siguiente. Todos los sistemas mecánicos presentan una naturaleza en su movimiento que le impulsa a oscilar, como cuando un objeto pende de un hilo en el techo y con la mano lo empujamos. O un zapato sobre una plataforma con resortes. Es bueno saber qué función matemática es la que mejor describe ese movimiento.

Pero resulta que las oscilaciones de nuestro ejemplos no son infinitas. Existe una fuerza de roce que amortigua el movimiento. En el caso del objeto que cuelga de un hilo es el aire, un fluido. Por lo que luego de estudiar el caso de un sistema ideal masa-resorte, sin amortiguación, pasaremos a considerar dicha fuerza de roce y añadir a la función ya encontrada un nuevo factor que describa el decaimiento del movimiento.


Sistema Masa-Resorte.


Fuente: Física. Robert Resnick

La dinámica de un sistema se representa en primer lugar mediante un modelo matemático compuesto por ecuaciones diferenciales. En el caso de el sistema masa-resorte, dicha ecuación es la siguiente:

Esta ecuación se conoce como Ecuación de Movimiento de un Oscilador Armónico Simple. Veamos de donde se deriva.

Si nuestra intención es obtener una fórmula que describa la fuerza que ejerce un resorte en contra del desplazamiento que lo estira o lo encoge, la mejor manera es visualizando la energía potencial que se inyecta al resorte cuando tratamos de estirarlo o encogerlo. La siguiente gráfica describe cómo se comporta esta energía en función del desplazamiento horizontal:

A medida que la masa m de la figura anterior, sujeta al extremo del resorte como se muestra en la Figura 5, se aleja del punto de relajación del resorte x=0  en sentido positivo o negativo, la energía potencial U(x) se acumula y aumenta en forma parabólica, llegando a un valor superior de energía donde U(x)=E, valor que se corresponde con la máxima elongación o compresión del resorte. La ecuación matemática que en la práctica describe mejor esta forma de curva, incorporando una constante k para la propiedad física del material que aumenta o disminuye la inclinación de dicha curva, es la siguiente:

La fuerza se relaciona con la energía potencial de la siguiente manera:

Por lo tanto:

Tiene sentido ver que F(x) es inversamente proporcional al desplazamiento de la masa m. Porque está claro que si estiramos el resorte, o lo encogemos, esta fuerza se opone a dicha acción, intentando devolver al resorte a su posición relajada o natural. Por ello se le llama fuerza de restitución. La ecuación anterior es conocida en la academia como La Ley de Hooke, o ley de la fuerza para resortes. La siguiente es una gráfica representativa de dicha fuerza, en relación con la energía como se ha venido mencionando, sin intervención de fuerzas de roce (amortiguación), por lo que se le conoce como Oscilador Armónico Simple. Es importante recalcar la relación proporcional entre desplazamiento y fuerza, pero con pendiente negativa, y que, en la práctica, es más compleja, no lineal.

Fuente: Física. Robert Resnick

Para una análisis animado del resorte, corto, sencillo pero contundente, recomiendo observar los videos: Potential Energy of a Spring, Restoring Force of a Spring


Sistema MRA


He realizado un resumen de los textos originales consultados para analizar las ecuaciones de los elementos que se consideran en este documento: masa, resorte, amortiguador.

Regresando a la Figura 5:

Acudimos a la Segunda Ley de Newton:

Esta ecuación nos dice que la sumatoria vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m, es igual al producto del valor de dicha masa por su aceleración adquirida debido a dichas fuerzas. Considerando que en nuestro sistema resorte-masa, ∑F=-kx, y recordando que la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento, aplicando la Segunda Ley de Newton obtenemos la siguiente ecuación:

Arreglando un poco las cosas, obtenemos la ecuación que queríamos obtener desde un principio:

Esta ecuación representa La Dinámica de un Sistema Masa-Resorte ideal.

A parte de la Figura 5, otra forma común de representar este sistema es mediante la configuración siguiente:

Fuente: Dinámica de Sistemas. Katsuhiro Ogata

En este caso debemos considerar la influencia del peso en la sumatoria de fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m. El peso P está determinado por la ecuación P=m.g, donde g es el valor de la aceleración del cuerpo en caída libre.

Si se jala la masa hacia abajo y luego se suelta, actúa la fuerza de restitución del resorte, provocando una aceleración ÿ en el cuerpo de masa m. Obtenemos la siguiente relación aplicando Newton:

Si implícitamente consideramos la deflexión estática, es decir, si realizamos las medidas a partir del nivel de equilibrio de la masa colgando del resorte sin moverse, entonces podemos obviar y descartar la influencia del peso P en la ecuación. Si hacemos y=x, obtenemos de nuevo la ecuación:

Sistema Masa-Resorte-Amortiguador


Si no existiera ninguna fuerza de roce, el oscilador armónico simple oscila infinitamente. En la realidad, la amplitud de la oscilación disminuye gradualmente, un proceso conocido como amortiguación, descrito gráficamente a continuación:

Fuente: Física. Robert Resnick

El desplazamiento de un movimiento oscilatorio se grafica contra el tiempo, y su amplitud se representa mediante una función sinusoidal amortiguada por un factor exponencial decreciente que en la gráfica se manifiesta como una envolvente. La fuerza de fricción Fv que actúa en el Movimiento Armónico Amortiguado es proporcional a la velocidad en la mayoría de los casos de interés científico. Dicha fuerza tiene la forma      Fv = bV, donde b es una constante positiva que depende de las características del fluido que ocasiona la fricción, entre otras cosas. Esta fricción, también conocida como Fricción Viscosa, se representa mediante un diagrama que consiste en un pistón y un cilindro lleno de aceite:

La manera más popular de representar un sistema masa-resorte-amortiguador es mediante una conexión en serie como la siguiente:

Figura 6

Fuente: Física. Robert Resnick


Así como la siguiente:

Fuente: Dinámica de Sistemas. Katsuhiro Ogata

En ambos casos se obtiene el mismo resultado al aplicar nuestro método de análisis. Considerando la Figura 6, podemos observar que es la misma configuración mostrada en a Figura 5, pero agregando el efecto del amortiguador. Aplicando la segunda Ley de Newton a este nuevo sistema, obtenemos la siguiente relación:

Esta ecuación representa La Dinámica de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.

Es de importancia observar que la ecuación (37) es también una Ecuación Diferencial Ordinaria de orden 2 (Ordinary Differential Equation – ODE) porque sólo involucra las derivadas de una sola variable (en este caso x) hasta la segunda derivadaAdemás, al despejar la ecuación e igualarla a cero, se transforma también en una ODE Lineal Homogénea (Homogeneous Linear ODEla cual posee importantes propiedades que facilitan el cálculo. Más adelante en este mismo documento veremos eso mediante la aplicación de La Transformada de Laplace. 

Transformada de Laplace de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Una solución para la ecuación (37) se presenta a continuación:

Fuente: Física. Robert Resnick

La ecuación (38) muestra claramente lo que se había observado con anterioridad. Un ejemplo puede simularse en Matlab mediante el siguiente procedimiento:


La forma de la curva del desplazamiento en un sistema masa-resorte-amortiguador está representada por una sinusoide amortiguada por un factor exponencial decreciente. Es importante entender que en el caso anterior no se está aplicando ninguna fuerza al sistema, por lo que el comportamiento de este sistema se puede catalogar como “comportamiento natural” (también llamada respuesta homogénea). Más adelante mostramos el ejemplo de aplicar una fuerza al sistema (un escalón unitario), lo que genera un “comportamiento forzado” que influye el comportamiento final del sistema que será el resultado de sumar ambos comportamientos (natural + forzado). Observación: Cuando se aplica una fuerza al sistema, el lado derecho de la ecuación (37) ya no es igual a cero, y la ecuación deja de ser homogénea.

La solución para la ecuación (37) presentada anteriormente, puede derivarse mediante el método tradicional para resolver ecuaciones diferenciales. Sin embargo, dicho método es poco práctico cuando nos encontramos con sistemas más complicados como el siguiente que en los cuáles además se aplica una fuerza f(t):

Figura 7

Fuente: Control System Engineering. Norman Nise.

Surge entonces la propuesta de un método más práctico para hallar la dinámica de los sistemas y facilitar el posterior análisis de su comportamiento mediante simulación computarizada. La Transformada de Laplace permite alcanzar este objetivo de una manera rápida y rigurosa.

En la ecuación (37) no es fácil despejar x(t), que en ese caso es la función de salida y de interés. Tampoco puede representarse una ecuación diferencial en forma de Diagrama de Bloques que es el lenguaje más utilizado por los ingenieros para modelar sistemas, haciendo de lo complejo un objeto visual más fácil de entender y analizar. Esto conduce al primer objetivo para un método más práctico. El primer paso es separar claramente la función de salida x(t), la función de entrada f(t) y la función del sistema, alcanzando una representación como la siguiente:

r(t)=f(t), c(t)=x(t)

Fuente: Control System Engineering. Norman Nise.

La Transformada de Laplace consiste en cambiar las funciones de interés del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia mediante la siguiente ecuación:

Fuente: Control System Engineering. Norman Nise.

La ventaja principal de este cambio radica en que transforma derivadas en sumas y restas, luego, mediante asociaciones, podemos despejar la función de interés aplicando las simples reglas del álgebra. Además, no es necesario aplicar la ecuación (2.1) a todas las funciones f(t) que nos encontremos, cuando se dispone de tablas que de antemano ya nos indican la transformada de funciones que se presentan con gran frecuencia en todos los fenómenos, como las sinusoides (salida del sistema masa, resorte y amortiguador) o la función escalón (entrada que representa un cambio brusco). En el caso de nuestros elementos básicos para un sistema mecánico, es decir: masa, resorte y amortiguador, contamos con la siguiente tabla:

Es decir, aplicamos un diagrama de fuerzas para cada unidad de masa del sistema, sustituimos la expresión de cada fuerza en tiempo por su equivalente en frecuencia (que en la tabla se denomina Impedancia, haciendo analogía entre sistemas mecánicos y sistemas eléctricos) y aplicamos la propiedad de superposición (cada movimiento se estudia por separado y luego se suma el resultado).

La Figura 2.15 muestra la Función de Transferencia para un sistema masa-resorte-amortiguador cuya dinámica se describe mediante una sola ecuación diferencial:



El sistema de la Figura 7 permite describir un método general bastante práctico para encontrar la función de transferencia de sistemas con varias ecuaciones diferenciales. Primero se aplica el diagrama de fuerzas a cada unidad de masa:

La Transformada de Laplace llama a la función del sistema Función de Transferencia, cuya definición depende de cual es la función de entrada y cual la salida. Por ejemplo, para la Figura 7 nos interesa conocer la Función de Transferencia G(s)=X2(s)/F(s).

Arreglando en forma matricial las ecuaciones del movimiento obtenemos lo siguiente:

Las ecuaciones (2.118a) y (2.118b) muestran un patrón que siempre se cumple y se puede aplicar para cualquier sistema masa-resorte-amortiguador:

La consecuencia inmediata del método anterior es que facilita enormemente obtener las ecuaciones del movimiento para un sistema masa-resorte-amortiguador, al contrario de lo que sucede con las ecuaciones diferenciales. Además, podemos llegar rápidamente a la solución exigida. En el caso de nuestro ejemplo:


que son resultados que se obtienen aplicando las reglas del Algebra Lineal, lo que concede un gran poder computacional al método de Transformada de Laplace.

Ejemplos de aplicación

Ejemplo 1.

Ejercicio B318, Modern_Control_Engineering, Ogata 4t p 149 (162),




Respuesta completa en el siguiente link: Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 2.

  1. Control Systems Engineering, Nise, p 101

Respuesta completa en el siguiente link: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Caso Rotacional

Hasta ahora se ha considerado solamente el caso traslacional. En el caso de que el desplazamiento sea rotacional, la siguiente tabla resume la aplicación de la transformada de Laplace en ese caso:

Para ilustrar su uso consideramos el siguiente ejemplo:

Las siguientes figuras ilustran la manera cómo realizar el diagrama de fuerzas para este caso:

De esta manera, el resultado se obtiene a continuación:


Observamos que de nuevo se cumple que:

Respuesta de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador con Condiciones Iniciales

La técnica discutida hasta ahora, la aplicación de la Transformada de Laplace para obtener la función de transferencia, ha implicado condiciones iniciales iguales a cero en el sistema. Es por ello que muchos problemas inician con el anuncio de “suponga que el sistema parte del reposo”, o, “suponga condiciones iniciales iguales a cero”.

En el caso de que las condiciones iniciales de un sistema Masa-Resorte-Amortiguador no sean cero, la aplicación de la transformada de Laplace tiene una variante que hace poco factible encontrar la función de transferencia del sistema. En cambio, podemos obtener una expresión para la salida X(s) tomando en cuenta dichas condiciones iniciales, para luego evaluar un sistema paralelo cuyo comportamiento sea equivalente al sistema que nos interesa. Veamos.

Consideramos el sistema de la Figura 5-30, con m=1 Kg; b= 3 N-s/m; k=2 N/m:


Si las condiciones iniciales no son iguales a cero, debemos obtener primero la ecuación diferencial del este sistema, la cual es:


Suponemos que en el tiempo t=0 la masa es jalada hacia abajo (sentido positivo) tal que posee las siguientes condiciones iniciales: x(0)=0.1 m; x´=0.05 m/s. Tomando en cuenta condiciones iniciales diferentes de cero, la transformada de Laplace  para x’ es sX(s) – x(0), y para x” es s^2X(s) – sx(0) – x'(0). Por tanto, la transformada de Laplace del sistema anterior es:


Despejando X(s) obtenemos:null

Por tanto, la expresión para la salida considerando las condiciones iniciales diferentes de cero es:null

Si aún queremos evaluar el movimiento del sistema mediante una función de transferencia, podemos aplicar una fuerza externa y observar que pasa. Hacemos uso de una de las entradas más comunes para evaluar sistemas: una entrada escalón unitario. Es muy utilizada porque muchos fenómenos se manifiestan de esta manera, cuando la fuerza aparece súbitamente y luego permanece constante.

La ecuación anterior se puede escribir como sigue:null

Por lo tanto el movimiento de la masa m puede ser evaluada como la respuesta a la entrada escalón unitario del siguiente sistema cuya Función de Transferencia G(s) es:


Introduzca en el Command Window de Matlab el siguiente código el cual simula el comportamiento del sistema ante una entrada escalón:

> G=tf([0.1 0.35 0],[1 3 2])


> stepinfo(G)


RiseTime: 2.5518

Peak: 0.1042

¿Cómo se puede interpretar este resultado? El sistema originalmente comienza su movimiento en x(0)=0.1 m (offset) y viaja a una velocidad de 0.05 m/s. Según la gráfica, el sistema (la masa m) se desplaza (oscila) levemente hasta 0.1042 m (Peak) al ser “empujada” por una fuerza en forma de escalón unitario en sentido positivo, y en 2.5518 segundos (RiseTime) a regresado a la posición 0,0368 m aprox., que se corresponde con el 63.2%  de su trayecto hasta la posición final que es 0 m, es decir, la masa y el sistema en general regresa desde 0.1 metros a su posición de equilibrio.

Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.

Las variables de estado son la herramienta más poderosa de la Ingeniería de Control Moderna, ya que no está limitada a sistemas lineales como sí o está el método hasta ahora visto, La Transformada de Laplace.

Las variables de estado en el caso del sistema masa-resorte-amortiguador de la Figura 8, nos permitirá reescribir un sistema de segundo orden en un sistema de primer orden. El siguiente material fue obtenido del video: State-Space Representation

                                                                      Figura 8


Seleccionando nuevamente el desplazamiento como la coordenada generalizada, la ecuación de movimiento del sistema es la siguiente:

El objetivo es expresar esta ecuación en una forma equivalente que tiene la siguiente forma:

Aquí el vector es un Vector de Estado, y X1, X2, son variables de estado que sustituyen a la original variable generalizada X y, más importante, a sus derivadas. El describir el sistema en forma de matrix, ofrecerá la enorme ventaja de utilizar el poder de las computadoras para procesar información y ejecutar análisis de datos presentados en forma matricial (Matrix Algebra).

Las ecuaciones encerradas en círculos amarillos muestran como la primera forma de escribir es la forma compacta de escribir las ecuaciones para y.

El primer paso es definir las variables de estado:

Este procedimiento nos permite obtener de inmediato la primera ecuación de estado :

…..por tanto

El segundo paso consiste en forzar al coeficiente que acompaña al orden más alto, el coeficiente líder, a ser igual a la unidad. Para ello, en nuestro caso, se divide la ecuación de movimiento original entre m (y en general, entre el valor que ocupe ese lugar):

En el tercer paso se despeja la derivada de mayor orden:

El cuarto paso consiste en sustituir las derivadas de la variable original por sus ya asignadas variables de estado:

Y así hemos encontrado la segunda ecuación de estado:


Y así hemos completado el objetivo. La ecuación de movimiento original puede ser expresado como variables de estado en la siguiente forma:

Ejemplo 2 variables de estado:

Supongamos ahora que tenemos el sistema de la Figura 2.15, para el cual ya habíamos encontrado su Función de Transferencia (ver: Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador):

Debemos encontrar para este sistema su representación en variables de estado.

Para ver todo el resultado ver el siguiente link: Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

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SIGUIENTE: Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Los libros de donde extraje imágenes, ecuaciones e información, son los siguientes:

  1. Robert Resnick, tomo1
  2. Dinamica_de_Sistemas, Katsuhiko Ogata
  3. Control Systems Engineering, Norman Nise
  4. Sistemas de Control Automatico, Benjamin Kuo
  5. Ingenieria de Control Moderna, 3° ED. – Katsuhiko Ogata
  6. Física Tipler 5ta Edición Vol 1

Catálogos de ejercicios resueltos:


Te recomiendo el libro “Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos”. Lo he escrito luego de agrupar, ordenar y resolver los ejercicios más frecuentes en los libros que se utilizan en las clases universitarias de Ingeniería de Sistemas de Control, Mecánica, Electrónica, Mecatrónica y Electromecánica, entre otras. 

Si necesitas adquirir la destreza de solucionar problemas, ésta es una excelente opción para entrenarte y ser eficaz al presentar exámenes, o tener una base sólida para iniciar estas carreras profesionales. 


  • Capítulo 1———————————————————- 1
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento traslacional)
  • Capítulo 2———————————————————- 51
    • Sistema Masa-Resorte-Amortiguador (desplazamiento rotacional)
  • Capítulo 3———————————————————- 76
    • Sistema Mecánico con engranajes
  • Capítulo 4———————————————————- 89
    • Sistema eléctrico, electrónico
  • Capítulo 5———————————————————-114
    • Sistema Electromecánico – Motor DC
  • Capítulo 6——————————————————— 144
    • Sistema del nivel de líquido
  • Capítulo 7——————————————————— 154
    • Linealización de sistemas no lineales

Sistema masa-resorte-amortiguador, 73 Ejercicios Resueltos

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Escrito por Prof. Larry Francis Obando – Technical Specialist – Educational Content Writer – Twitter: @dademuch

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Ejemplo 1 – Función Transferencia de Sistema masa-resorte-amortiguador

Ejemplo 2 – Función Transferencia de sistema masa-resorte-amortiguador

Dinámica de una Sistema Electromecánico con Motor DC

Ejemplo 1 – Función de Transferencia de Sistema Electromecánico

Ejemplo 1 – Representación en Variables de Estado de un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Diagrama de Bloques – Ingeniería de Control

Respuesta Transitoria de un Sistema de Control

Simulación de Respuesta Transitoria con Matlab

Estabilidad de un sistema de control

Error en estado estable de un sistema de control

PID – Acciones básicas de sistemas de control

PID – Efecto de las acciones de control Integral y Derivativo

PID – Diseño y configuración del controlador 

Computer Science, UML

UML Class Diagram – Introduction

Download PDF: UML Introduction

  1. Class Definition
  1. Fuente. KULeuvenX: UMLx UML Class Diagrams for Software Engineering (Copia Textual – Literature Review).
    1. UML Class Diagrams for Software Engineering
    2. Welcome
    3. Modelling languages
    4. A class is an abstraction
    5. Why are class definitions important?

The Unified Modelling Language was first proposed as a standard in 1996. Since then, UML has become the most widely used language to draw up plans for software systems. It is used by software engineers, requirements engineers, and business analysts. Knowledge of UML has become a much sought-after skill in software development and engineering. Some of the today’s top jobs require UML knowledge. Think about business analysts, enterprise architects, but also developers, technical consultants, and solutions architects…In this course we’ll focus on UML Class diagrams and their use for conceptual data modeling… we look at the essential aspects of conceptual domain modeling.

“Dictionary.com” defines a model as “A systematic description of an object or phenomenon that shares important characteristics with the object or phenomenon.” So, models present a systematic and most often simplified description of what they represent.

Each business is unique and will, therefore, yield a different domain model, adapted to its specific needs. UML class diagrams is the prime modeling instrument used to map out specific business domains. Creating a UML class diagram for a business will enable to pinpoint what makes this business unique and will provide a good starting point for developing an information system.

Creating a domain model allows a deeper understanding of that domain. And, this deeper understanding is crucial for creating software systems that can adapt to the ever changing requirements of their users.,,So, the lesson to remember is that you need to understand the core concept of a business. The domain model that captures these core concepts need to be at the heart of your information system to ensure adaptability.

Class definition

In computer terms, a concept that groups objects with similar characteristics is called a ‘Class’… in order to be able to handle the objects in the universe of an organisation, these objects need to be categorized into concepts. Example: University has the following classes: Student and Study Program

Modeling is abstracting, it means that you make the transition from level 0 to level 1. You go from the instances to the definition of the concepts. On the other hand when you want to validate the model you have to do the reverse. So you will take the model and reason on an example.

A ‘Class’ has two functions.

  1. On the one hand, the class will be the template or a model for a group of real world objects that are similar. It defines a type of instances and therefore we also call it an object type. This is called the “intent” of the class; it is the definition of the concept that defines class membership. The template will capture characteristics that are relevant about the objects in the class. The class definition will omit the irrelevant aspects.
  2. At the same time, the class represents a collection of objects that conform to its intent. This is called the ‘extent’ of the class. Notice that classes can represent both tangible and intangible objects.
  1. Attributes and Data Type
  1. Fuente. KULeuvenX: UMLx UML Class Diagrams for Software Engineering (Copia Textual – Literature Review).
    1. Attributes and Data types
    2. Respresenting Instances in MSAccess or MSExcel

Attributes / Data Types

The characteristics that we want to information about for every individual object in a class, are called the ‘attributes’ of that class. The list of attributes for a class is obviously specific for a particular domain.

For a university, the mentioned attributes in the figure are relevant. Each object has its own values for the attributes: attribute values are specific for the instance they belong to. Moreover each attribute has a data type. Examples of data types are integer, float, text, string, and boolean. The data type constraints the values that can be given for a particular attribute.

When an instance is given a value for an attribute, this value has to follow the constraints implied by the data type. By the fact that the data types constrain the permissible values for an attribute, they also define the permissible operations. In a UML class diagram the attributes and their data types are written in a box below the class’s name,

  1. Associations
    1. Fuente. KULeuvenX: UMLx UML Class Diagrams for Software Engineering (Copia Textual – Literature Review).
      1. Association Basics
      2. Unary association
      3. Ternary association
      4. Aggregation


Following the principle of abstraction means that similar relationships or links between instances at level 0 need to be abstracted into a higher level concept at level 1. Such abstract concept is called an association. An Association is therefore a level 1 concept that relates classes and that represents a collection of links between the objects of those classes. It represents a type of link with specific characteristics. The first of these characteristics is whether it is optional or mandatory to have a link with other objects. So for example is it optional or mandatory for a student to be registered for a program? The other important characteristic is the maximum number of objects we will find at the other side of the association. In this example maximum number of programs a student can be subscribed to at a any single point in time? The combination of the minimum and maximum is represented as an interval: minimum .. maximum. The minimum can be 0 or 1, and the maximum can be 1 or many and the many is represented as a star:

Let’s look at the following association example as we must remember the rule Modelling is abstracting, it means that you make the transition from level 0 to level 1. You go from the instances to the definition of the concepts. On the other hand when you want to validate the model you have to do the reverse. So you will take the model and reason on an example:

An association can be read in two directions. here: from the student to the program, and from the program to the student. These individual directions are called the ‘roles’ of the association. In this example, the role from the student to the program has been named ‘Registered for’ and the role name is put next to the destination class of the role, so next to the class Program. In the other direction a program has registered students, so we put the role name ‘registered students’ next to the class Student.

When you have two classes in a UML class diagram you can have two different associations between those two same classes.

In some cases an association connects a class to itself. This is called a unary association. An example is when people are related to each other.

Sometimes binary and unary associations are not able to correctly capture the relationships between objects. Consider the following example. Assume we have Suppliers, Products and Projects, and we want to capture which supplier supplied what construction material for which construction project.

So the combination of the three tables just doesn’t give you enough information to answer that question. The only way to correctly capture which supplier supplied which product for which project, is to use a three-way association. like this, also called a ternary association.

The interpretation of cardinality constraints for a ternary association requires however some care. If you put a zero to many cardinality next to supplier, what does it mean? Does it mean that each product and each project each can have zero to many suppliers? This is what the UML manual says about the interpretation of multiplicities: Using the same example:

So, to determine the multiplicity on the side of supplier, you take a pair of one project and one product. And then you look at the set of suppliers that match with this (project, product) pair. The (project, product) pair could have been sourced from no, one or several suppliers. If the product has not been used in that project, you won’t find any supplier. If it has been supplied by only one supplier, then you’ll find one supplier. If the product has been sourced from two or more, then you’ll find many suppliers. You have to do this for all project-product pairs to determine the general rule that is applicable. If your model allows to distinguish, for example, different orders at the same supplier, then a (project, product) pair may match several times with the same supplier. In such case additional identifying attributes will be required to distinguish the different links from each other. We’ll come back to this when discussing the concept of AssociationClass. So for this example, in order to determine what to write next to the “supplied_by” role, we need to consider all project, product pairs, and see how many suppliers we find. The role will most likely not be mandatory: some products will not be used by all projects. For those pairs, we won’t find any suppliers. So the minimum is 0. For the maximum, it depends on the rules. If within a project, a product always has to be supplied by the same supplier, then the maximum is one. If you can source a product from many suppliers within the context of a single project, it may be many.

Some associations convey a meaning of a “part of” relation or composition. For example, this course is “composed of” a number of modules, an orderline is “part of” an order, a parcel is “composed of” items, and so on. In the UML, you can adorn the association end at the side of the “whole” with a diamond to clarify that the association has a “whole-part” meaning.

The diamond comes with two flavours: a white diamond representing a “shared” aggregation and a black. The white diamond represents a shared aggregation. Intuitively, this means that the parts can be shared by different wholes. If course modules can be shared across courses, then this would be an example of a shared aggregation.

The black diamond represents a composite aggregation, which is intended as a stronger form of ownership, meaning that the parts are owned by only one whole. The order lines being part of an order, and the items being part of a parcel are examples of a composite aggregation.

So the advice for good modelling is to use conventional binary associations with appropriate role names to avoid confusion in a model reader’s mind.

  1. Implicit Associations – Navigation and Parallel Paths
    1. Fuente. KULeuvenX: UMLx UML Class Diagrams for Software Engineering (Copia Textual – Literature Review).
      1. Derived/implicit association.
      2. Navigation & information need satisfaction
      3. Parallel paths

Implicit Associations

 The fact that you can navigate over several consecutive associations implies that there are implicit associations between classes. In this example, there is an implicit association from the student to faculty that represents to which faculty a student belongs and which students a faculty has.

So, we have an association between students and faculty that represents which faculty a student belongs to and which students a faculty has. Note that such implicit association is not drawn on the diagram. But you have to be aware of its existence while reading a diagram.


By connecting multiple associations in a chain we can navigate from one end of the model to another. This navigability of associations determines the navigability of information in an information system: when applications are built based on a UML class diagram the associations in that diagram will define how in an application a user can navigate from one piece of information to another. As a result of this, the navigation paths will also impact the possibilities to satisfy information needs.

Let’s look at an example. I have logged into the ERP system of my university and this means that in the class professor one instance has been selected, namely me. Now what I want to do in the ERP application is to find the students I’m teaching to. In order to navigate to my students the first thing I will have to do is to navigate to my courses. In the ERP-system I have a button ‘Search via courses’. This corresponds to navigating in the UML diagram from the professor to the class courses:

Now, I will select one course: I choose for the first one, the “business information systems” course. By clicking the ‘show’ button, I will navigate to the students who follow that course. And what do I see? The application offers me a list of students but not just a flat list. It will group the students according to the program these students are subscribed to. At the right appears a version which returns a wrong answer to the question the professor asked.

So, we see that clearly the non-availability of the grey link going directly from course to students hampers the satisfaction of the need to know how many students are subscribed in the course business information systems. So, wrong associations and missing associations are detrimental to information need satisfaction.

Parallel Path

An important thing we have to take into account when reading a UML class diagram, is that –based on our domain knowledge- we may assume that certain ‘intuitive’ constraints are imposed, but which in fact are not part of the UML class diagram. This is particularly the case when a UML class diagram contains parallel paths to navigate from one class to another.

For example, here we can see that we can navigate along the blue path from course to students. This gives us the students that are subscribed to a course. We can also navigate along the green path. In the first leg of this path, we navigate from course to program and we find all the programs the course is a part of. In the second leg, we navigate from program to student, and so we find all the students of that program. So, this green path gives us the students that are subscribed to a program the course is part of. Clearly, navigating along the blue path will give you another set of students than when navigating along the green path.

Let’s illustrate this with a concrete Level 0 example. Here you find 3 students, 3 programs and 6 courses. The orange lines indicate the relationships between students and courses: which student has taken which course in his or her individual study program. The purple lines show the relationships between courses and programs: which course is part of what program. And the black lines tell which student is registered for what program. Let us now start from the course Object Oriented Programming. Navigating along the blue path, means navigating from the course to the students taking that course. We find Maria Haven. Navigating along the green path, means first navigating to the programs this course is part of. We find the bachelor of Computer Science. We then navigate to the students registered for this program and We find Peter Martens and Elisa Smith. So the two paths yield a different set of students.

This paper continues in UML ADVANCED

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Digital Engineer, Literature Review

Data Storage – Introduction

Download in PDF: Data Storage – Introduction

  1. Fuente. Storage101x Introduction to Data Storage and Management Technologies (Copia Textual – Literature Review).
    1. Enterprise IT Infrastructure Components
    2. Server-Storage Connectivity: Direct Attached Storage
    3. Server-Storage Connectivity: Networked Storage
    4. Data Center

IT infrastructure. An enterprise IT infrastructure has three key components – compute, network, and storage. Compute refers to the computer systems or servers on which applications are hosted. These applications could be business applications, database applications, email applications, or mobile apps.

Network refers to the network components, such as switches, routers, and cables. Servers connect to an IP-based network, which allows them to communicate with one another. Clients also connect to a network, which allows them to communicate with the servers and use these applications. Storage refers to the persistent storage devices on which an enterprise stores application data. When storage is directly connected to a server, it is called as direct attached storage or DAS

…A main disadvantage of DAS is that it is inconvenient to transfer data over a network. Other servers in the environment can only access a storage device by going through the server to which the storage device is connected.

One other challenge with DAS is that of storage utilization. For example, the storage device connected to a file server may be more heavily utilized than the storage device that is connected to an email server. There may come a time when the file server may start running short of space. In this case, more drives would have to be added to the DAS of the file server, even though there may be unused capacity on the DAS of the email server. Another challenge with the DAS environment is that of data loss. Each server is a single point of failure. If the server goes down, and the backup of the data of the DAS of that server has not been taken, then a huge amount of data may be lost. Taking backups of each DAS device in the environment involves a lot of time and effort.

In networked storage, a storage device is separated from a server. A server connects to a storage device over a network called as a storage network. In networked storage, a single storage device can be shared between multiple servers. These servers connect to the same storage device over a storage network.

The network may be a dedicated storage area network that uses the FC protocol. Such a network requires special network adapters, switches, and cables, and may be quite expensive to build. On the other hand, the network may be an IP-based network, such as an enterprise Ethernet, which is less expensive to deploy. The data is stored centrally on shared storage and so it is easier to manage and backup.

  1. Fuente. Storage101x Introduction to Data Storage and Management Technologies
    1. Virtualization Overview
    2. Server Virtualization
    3. Network Virtualization
    4. Storage Virtualization


Virtualization is the process of using software to abstract a physical device, and create a logical or non-physical version of that physical device. This logical resource or a virtual resource is accessed and used as if it were physical resource. In the context of this course, we will primarily focus on server virtualization, network virtualization, and storage virtualization.

A non-virtualized environment may have considerable capital expenditure as well as operational expenditure. So what is server virtualization? It is a virtualization technology that enables multiple operating systems to be installed and run simultaneously on the same physical server. Server virtualization enables the creation of virtual servers on the same physical server. This virtual server is also called a virtual machine or a VM. Each VM can have a different operating system and applications installed on it. Multiple virtual machines can be running at the same time on the same physical server. In this way it is virtually possible to run multiple operating systems simultaneously on the same physical server….Server virtualization is achieved through a software called hypervisor. The hypervisor is installed on the server hardware and enables a user to create virtual machines.

You can install an operating system and applications on a virtual machine. The operating system of a VM is called a guest OS. Each VM has virtual hardware, which appears as physical hardware to the guest OS. The IO requests sent to the virtual hardware from the guest OS are mapped by the hypervisor to the physical hardware in a transparent manner. In this way, all the VMs on the server share the same physical hardware. However the hypervisor ensures that each VM is securely isolated from the other VMs….There are two types of hypervisors – a hosted hypervisor and a bare metal hypervisor. Let’s take a look at a graphic to understand how these two work. In the hosted hypervisor environment, an OS is installed on the server hardware, and the hypervisor is installed on top of this OS. There may be other applications running simultaneously on that OS. The hosted hypervisor does not have direct access to the server’s hardware. All I/O requests must go through the OS on which it is installed. A bare metal hypervisor is installed directly on server hardware like an operating system. A bare metal hypervisor has direct access to the server’s hardware. The bare metal hypervisor can directly execute the instructions of each guest OS on the server hardware. As a result, a bare metal hypervisor is more efficient and provides better performance than a hosted hypervisor. Therefore, bare metal hypervisors are used for server virtualization in enterprise environments.

Let’s take look at some of the benefits of server virtualization. Server virtualization enables server consolidation and increases the utilization of individual servers. This lowers the capital expenditure that an enterprise has to incur, and also provides better return on investment. Server virtualization also reduces the floor space and power requirements, which in turn reduces the operational expenditure. Server virtualization also provides an agile and flexible environment because the time required to provision a VM is much lower than the time required to provision a physical machine. Server virtualization also improves availability because VMs can be moved from one server to another without any significant downtime.

We will cover network virtualization. In the same way as server virtualization abstracts physical server hardware, network virtualization abstracts physical network components like switches and routers. This enables the creation of logical or virtualized network components. Network virtualization software is either built into the switch software, or it may. We will take a look at two types of network virtualization: virtual LANs or VLANs, and VM networks. So let’s take a look at a graphic to understand what is a virtual LAN or a VLAN, and understand how it works. Before we see what a VLAN is, let’s see how the basic network components such as hubs and switches work. So suppose there are four hosts that are connected to a hub, and Host 1 wants to send data to Host 4. That data is broadcast to all the hosts that are connected to the same hub. This is known as a broadcast network. Host 4, which is the intended recipient of data will be the only host that will retain that data. A switch on the other hand, forwards the data only to the intended host. So in this graphic, we have four hosts connected to the same switch, and Host 1 wants to send data to Host 4. The switch only forwards the data to Host 4 without broadcasting it to the other hosts attached to that switch. These hosts connected to the switch forms a local area network or LAN.

A router is used for internetworking. So if you have two physical switches to which hosts are connected, the hosts that are connected to the first switch can communicate to the hosts that are connected to the second switch by connecting the two switches to a single router.

Network virtualization is used to divide a local area network into smaller virtual networks called VLANs or virtual LANs. A VLAN is a logical network that is created on a switch by grouping switch ports. A VLAN enables communication between a group of nodes with a common set of functional requirements. In the figure, we have six nodes that are connected to a switch. We can arrange these ports into groups of three, and each group represents a VLAN. So we have VLAN 1, VLAN 2, and VLAN 3. Each VLAN is identified by a unique 12 bit VLAN ID. A node can be made a member of a VLAN by assigning it that particular VLAN ID. Each VLAN behaves like a LAN and is managed independently. Two nodes that belong to the same VLAN can communicate with each other without the routing of frames. So for example, if Node 1 wants to send data to Node 2, that transmission happens within the switch itself. However, two nodes that belong to different VLANs can communicate to each other only through the router even if they are on the same switch. For example, if Node 2 wants to communicate with Node 3 that data passes through the router. This is because Node 2 and Node 3 are on different VLANs.

Storage virtualization refers to logically combining the storage capacity from multiple storage devices into a single storage pool. An enterprise may have multiple storage devices and there may be free storage space across these devices. Storage virtualization aggregates this free space from across the devices to create a common storage pool. Users can request and use capacity from the pool without knowing the underlying storage configuration.

Storage systems virtualization can store data from multiple applications. S.V. software can be implemented on the storage system or on separate hosts. In this graphic, we have two storage devices each of 1 terabyte capacity.

Using storage virtualization the individual capacities of these two storage devices can be aggregated to create a pool of 2 terabyte capacity. In the first storage device there is 300 GB of free storage space. In the second storage device there is 400 GB of free space. So in the pool there is 1.3 terabyte of used capacity, and 700 GB of free capacity. If a user needs about 400 GB of storage space, storage virtualization helps to allocate 200 GB from each device. The user is not aware that the capacity comes from a pool that is created from multiple storage devices.

Storage virtualization improves storage capacity utilization across multiple storage devices. It simplifies storage management because virtualized storage can be managed from a single administrative console. A storage administrator can also see utilization trends and growth patterns more clearly, and can make better upgrade or capacity planning decisions. Storage virtualization also increases flexibility. When storage space is decoupled from a physical storage device, it is simple to migrate and copy across devices and even geographic locations.

  1. Fuente. Storage101x Introduction to Data Storage and Management Technologies
    1. Types of Data Storage Devices

A magnetic disk drive is an electromechanical storage device. It is also called the hard drive. The disk drive is composed of platters, read/write heads, spindle motor, the actuator assembly, and the drive controller.

The entire platter is divided into several such circular tracks which form concentric circles running all the way down to the center of the platter. Each track is then divided into blocks called sectors. Data is stored on the platter in the form of blocks, and the sector is the smallest addressable unit of a disk drive. Each sector is typically 512 bytes in size. So when you store data it is stored in the form of 512 byte sized blocks…General Architecture is presented

Now let’s take a look at disk drive performance. There are various parameters on which we can measure disk drive performance. The first parameter is the drive speed…Drive speed is measured in revolutions per minute or rpm. Some common disk drive speeds are 5,400 rpm, 7,200 rpm, 10,000 rpm, and 15,000 rpm. The second parameter is the seek time… Seek time is measured in milliseconds. Drives that have lower seek times provide better performance. The next parameter is rotational latency… Drives with faster RPMs have lower rotational latency. The next parameter is the data transfer rate. The data transfer rate represents the number of bytes of data that can be transferred to and from the drive per unit time. This is typically represented in Megabytes per second or Mbps…

In computing, a protocol is a set of commands and rules that enables two entities to communicate…

In storage, there are various protocols that allow a server and a storage device to connect and exchange data. Usually each protocol also provides its own physical interface specifications. This affects the type of connectors and the cables that are used to connect the storage drive to a server. There various protocols for connecting a storage drive to a server. Some common protocols are:

On the storage device, these protocols are implemented on the drive controller. On the server, these protocols are either implemented on the motherboard or by using adapters that plug into the motherboard. These protocols are applicable to both DAS and networked storage environments. The SATA interface is commonly found in consumer desktops and laptops. In enterprises, they provide cheap, low performance, and high capacity storage. SATA drives are typically used for data backups and archiving. The SCSI interface is popular for enterprise storage. SCSI drives provide parallel transmission and are used for high-performance, mission-critical workloads. SAS is the serial point-to-point variant of the SCSI protocol, and it is also used in high-end computing. Nearline SAS or NL-SAS is a hybrid of SAS and SATA interfaces. Theses drives have a SAS interface and support the SAS protocol. But in the back end they use SATA drives. They cost lesser than SAS drives, and provide the benefit of the SCSI command set. At the same time they offer the large capacities of SATA drives. The Fibre Channel or FC protocol is also based on the SCSI protocol. FC is a widely used standard for networked storage. It provides very high throughputs, with the latest standard supporting transfer rates of up to 16 gigabits per second.

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Wireless – Fundamentals.

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  1. Electromagnetic Waves

1.1 Fuente. NotreDameX: EG240x Understanding Wireless: Technology, Economics, and Policy (Copy Text)

a. Exploring Electromagnetic (EM) Waves

First, the EM wave propagates along the z-axis from the transmitting antenna to the receiving antenna. Second, the E field oscillates up and down along the x-axis. We can think of this E field as being induced by an electric current that moves charges back and forth in the transmitting antenna, Third, the B field oscillates back and forth along the y-axis perpendicular to the E field.

It’s worth emphasizing that there is a beautiful mathematical equation that governs the simplified solution to Maxwell’s equations. We introduce this equation to highlight some key parameters of the propagating EM wave. The planar wave equation is shown here, focusing on the variation of the E field. We see that the EM wave is oscillating, both as a function of space, in this case along the z-axis, and time, the t-axis. The particular type of oscillation is called sinusoidal. The two key parameters of the EM wave are how fast it oscillates in these two dimensions. The wavelength is the length of one full cycle in space, when we take a fixed snapshot in time, and is often measured in units of meters. The frequency is the number of oscillations per unit time when we look at a particular point in space. Frequency is measured in units of Hertz, named after the famous physicist who experimented with EM waves. It turns out that frequency and wavelength have to relate to one another because the EM wave propagates at the speed of light, 3 times 10 to the 8th meters per second.

Here we have a simple transmitter which is generating a current back and forth in this dipole antenna.And here we have a similar dipole antenna that is connected by a flashlight bulb. If a strong enough EM wave impinges upon this receive antenna, it should generate a current back and forth in the antenna and light the bulb.

From the experiment

Superposition leads to some major challenging issues in wireless technology. As one example, when a signal propagates from an antenna, it can bounce off of objects in the medium and result in multiple copies of the signal with different gains and time delays at the receiver. This effect, called multi-path propagation, results from a transmitted signal interfering with itself because of superposition. Another example is two different transmitters, whose signals are close together in frequency and therefore interfering with one another.

  1. In progress

Ing. Larry Obando


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